Volume d'une sphère non pleine.

julien_4230 · 31/01/2008 - 08h21

Bonjour.

Soit 3 sphères de même centre, respectivement de rayon R, R+h1 et R+h2 tels que 0<h1<h2.

Je veux calculer le volume V entre les hauteurs h1 et h2.

Première méthode :
V=intégrale triple de dV = (intégrale de R+h1 à R+h2)r²dr(intégrale de 0 à Pi)sin(thêta)dthêta(intégrale de 0 à 2Pi)dPhi
=4Pi*[(R+h2)^3 - (R+h1)^3]/2

Deuxième méthode :
V = (surface de la sphère de rayon R+h1)*(hauteur h2-h1)
=4Pi(R+h1)²(h2-h1).

Quelle méthode est la plus convenable ? Peut-on se permettre gratuitement de la deuxième ? Si oui, pourquoi ? est-ce le même raisonnement que pour un simple volume de rectangle 3D ?

Merci !

Thibaut42 · 31/01/2008 - 08h30

Pourquoi tu ne soustrais pas le volume de la shère r+h1 a celui de la shère r+h2

julien_4230 · 31/01/2008 - 08h55

Lol
C'est une méthode un peu trop simple ! la dernière m'intéresse le plus.

Mais j'aurais en effet du le marquer !

alebot · 31/01/2008 - 09h12

Bonjour,

La première méthode est évidemment la bonne. (Il y a une erreur dans le facteur qui n'est pas $4\pi /2$ mais plutôt $4\pi /3$ .

Le seconde méthode est intéressante. Elle n'est pas juste mathématiquement parlant mais elle donne une bonne approximation du résultat si
$(h_2-h_1) << (R+h_1)$ . Pour s'en rendre compte il suffit de faire
un développement limité de la première expression en développant la différence $(R+h_2)^3-(R+h_1)^3$ .

Bonne journée

homotopie · 31/01/2008 - 09h29

Envoyé par julien_4230

Quelle méthode est la plus convenable ? Peut-on se permettre gratuitement de la deuxième ? Si oui, pourquoi ? est-ce le même raisonnement que pour un simple volume de rectangle 3D ?

Merci !

La deuxième est au niveau de la rigueur fausse car la surface varie entre R+h1 et R+h2. Maintenant comme il a été dit si R>>h1,h2 c'est alors une approximation correcte que l'on peut améliorer en prenant la surface de l'intermédiaire R+(h1+h2)/2 par exemple.
Si le pavé (un rectangel n'a pas de volume, pavé est le nom utilisé pour les dimensions supérieures) n'a qu'une dimension qui varie alors la surface reste constante et la méthode devient exacte, c'est le cas aussi pour un cylindre, un prisme droit...

julien_4230 · 31/01/2008 - 10h05

J'aimerais avoir le DL en détail, s'il vous plaît.

[(R+h2)^3-(R+h1)^3] = R^3[(1+h2/R)^3-(1+h1/R)^3]
=3R²(h2-h1)

On multiplie par le (4/3)Pi, ce qui donne

4 Pi R²(h2-h1), je ne trouve pas de (R+h1)²...

Merci !

julien_4230 · 31/01/2008 - 10h27

Si si, c'est ok, on met (R+h1)² en facteur...

L'approximation reste convenable, même pour h2 = 100km (on trouve une erreur vers 5% ce qui est peu)

Merci, en tout cas !

alebot · 01/02/2008 - 15h54

Bonjour,

C'est un peu tordu comme méthode.
Il suffisait d'écrire,
$(R+h_2)^3-(R+h_1)^3=(h_2-h_1)\left[(R+h_2)^2+(R+h_2)(R+h_1)+(R+h_ 1)^2\right]$
et comme au premier ordre en $\epsilon=(h_2-h_1)/(R+h_1)$ on a
$(R+h_2)=(R+h_1)(1+\epsilon)=1+ o(1)$
Le tour est joué.

Bonne journée