Morphisme de groupes
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Morphisme de groupes



  1. #1
    invitebb921944

    Morphisme de groupes


    ------

    Bonjour.
    Je dois déterminer le nombre de morphismes de groupes de Z/aZ dans Z/bZ.

    On a nécessairement 0=f(a)=af(1)
    Soit f(1)=0 et dans ce cas, f est le morphisme nul.
    Soit a=0 dans Z/bZ, donc b|a.

    Donc déjà une condition pour que le morphisme
    f : Z/aZ -> Z/bZ existe, il faut que b|a.

    1 engendre Z/aZ, donc f(1) détermine entièrement l'image de f.

    0=f(a)=af(1)
    Donc af(1)=kb et f(1)=kb/a
    Et la je ne vois pas trop comment continuer...

    -----

  2. #2
    invite35452583

    Re : Morphisme de groupes

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    On a nécessairement 0=f(a)=af(1)
    Soit f(1)=0 et dans ce cas, f est le morphisme nul.
    Soit a=0 dans Z/bZ, donc b|a.
    Un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul n'est valable que dans une structure intègre.
    a=3, b=6 f(1)=2 on a bien af(1)=0 dans Z/6Z mais ni a ni f(1) ne sont nuls.

    J'espère que tu as déjà vu les sous-groupes des Z/nZ.
    Tu as f: Z/aZ->Z/bZ
    f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe donc est isomorphe à un Z/dZ avec d ...
    f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ donc d...
    Finalement d doit vérifier une condition simple. Pour ces d regarder comment le sous-groupe engendré par f(1) pour que celui-ci soit égal à l'unique sous-groupe de Z/bZ isomorphe à Z/dZ. Vérifier que cette condition est suffisante.
    Compter.

  3. #3
    invitebb921944

    Re : Morphisme de groupes

    Un produit de facteurs est nul ssi un des facteurs est nul n'est valable que dans une structure intègre.
    a=3, b=6 f(1)=2 on a bien af(1)=0 dans Z/6Z mais ni a ni f(1) ne sont nuls.
    Evidemment, mea culpa...

    J'espère que tu as déjà vu les sous-groupes des Z/nZ.
    Tu as f: Z/aZ->Z/bZ
    f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe donc est isomorphe à un Z/dZ avec d ...
    f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ donc d...
    Finalement d doit vérifier une condition simple. Pour ces d regarder comment le sous-groupe engendré par f(1) pour que celui-ci soit égal à l'unique sous-groupe de Z/bZ isomorphe à Z/dZ. Vérifier que cette condition est suffisante.
    Compter.
    f(Z/aZ) est un sous-groupe de Z/bZ, il s'écrit donc dZ/bZ où d divise a.
    Je ne comprends pas le "f(Z/aZ) est un quotient de Z/aZ par un sous-groupe".
    Ca vient d'où ca exactement ?

    Merci pour ton aide.

  4. #4
    invitebb921944

    Re : Morphisme de groupes

    Ok au temps pour moi f(Z/aZ) est isomorphe à (Z/aZ)/ker(f)...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitebb921944

    Re : Morphisme de groupes

    Bon alors :
    Ker(f) sous groupe de Z/aZ, donc ker(f)=dZ/aZ avec d divise a.
    Par le théorème d'isomorphisme :

    (Z/aZ)/(dZ/aZ)=f(Z/aZ)

    De plus, f(Z/aZ) est un sous groupe de Z/bZ.
    Donc f(Z/aZ)=pZ/bZ où p divise b.

    Donc on a l'isomorphisme suivant :
    pZ/bZ = (Z/aZ)/(dZ/aZ)

    J'imagine que j'ai raté un truc.

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