Calcul de la limite d'une série alternée

thepasboss · 10/04/2008 - 14h53

Bonjour,

J'ai énormément de problèmes avec cet exercice (tiré d'un oral de mines il me semble) qui demande de calculer :

$\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^n}{4n+1}$ pour n tendant vers plus l'infini...

Je dois avouer que je souffre beaucoups sur cet exo et que, si astuce il y a, je ne l'ai pas vu... Le mieux que j'ai pu obtenir est un encadrement de cette limite assez grossier ainsi qu'une dizaine de pages inutiles inspirés de la méthode de calcul de la série en $\frac{(-1)^n}{n}$

...

Donc voila je patauge dans le semoule !

Merci d'avance à tous !

PS: désolé si un topic parlant de cette limite m'a échappé, j'ai fais une recherche et elle n'a rien donnée

Ledescat · 10/04/2008 - 15h16

Salut.

On peut s'intéresser à ce que vaut

$f(x)=\sum_{n}^{\infty} \fr{x^n}{4n+1}$

Par intégration, tout le bazar habituel... Après on n'a que semi convergence en (-1), mais je pense que ça posera pas trop de problèmes

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thepasboss · 10/04/2008 - 16h58

merci ledescat !

Non non je n'avais pas oublié de dire merci j'étais juste entrain d'essayer ta méthode en faisant à peu près une faute de calcul par ligne (avis à ceux qui seraient tenté, ne tombez pas amoureux un mois avant les concours mais plutôt un mois après... ça déconcentre beaucoup...)

Alors j'explicite mon raisonnement:

Tout d'abord je pose $f(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^n}{4n+1}$

et donc si on appelle F sa primitive qui s'annulle en 0 on trouve:

$F(x)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{n+1}}{(n+1)(4n+1) }$

et donc

$F(x)=\frac{-1}{3}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1} + \frac{4}{3}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{x^{n+1}}{4n+1}$

et donc f vérifie sur ]0,1[

$f'(x) + \frac{1}{4x}f(x) = \frac{1}{4x(x+1)}$

Donc on peut déduire l'expression de f sur ]0,1[ (chose que je n'ai pas faite car il faut y calculer une primitive de 1/(1+x^4) et j'ai un petit coup de barre...)

Or on a une série entière réelle de rayon de convergence 1 telle que la somme converge en 1, donc la somme est continue sur ]-1,1] par le théorème d'abel (si je me souviens bien...) et donc la limite recherchée et la limite de la fonction f en 1 (ce qui par calcul ne doit pas être très compliqué)

Voili voilu... Je vous en supplie dites moi que j'ai juste... il commence à me filer des boutons cet exercice

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jeanmi66 · 10/04/2008 - 18h45

Heuuu, mais Ledescat t'a mis sur une voie plus simple, tu utilise le théorême d'Abel et en 2 petites lignes, c'est plié, tu démontres qu'elle est semi-convergente

Ledescat · 10/04/2008 - 18h47

avis à ceux qui seraient tenté, ne tombez pas amoureux un mois avant les concours mais plutôt un mois après... ça déconcentre beaucoup..

Trop tard

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jeanmi66 · 10/04/2008 - 18h50

Ha oui, tu l'a fait, j'avais pas vu désolé

je suis pas sûr de ta séparation de somme !?

thepasboss · 10/04/2008 - 19h25

erf si la séparation de somme est fausse ça veut dire que j'ai fais n'importe quoi... hum... ou alors on peut la séparer de manière plus simple ?
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(vérifie son calcul)
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Non je l'ai relu 4 ou 5 fois je ne vois pas d'erreur dans ma séparation de somme (enfin c'est peut-être le cas, je suis assez fatigué) ...

Enfin sinon quel est la méthode pour réduire ça à deux petites lignes ??
Si ça peut m'éviter des calculs tortueux...

Merci d'avance !

jeanmi66 · 10/04/2008 - 20h01

Non, pour les 2 lignes, je parlais de la démo du theoreme d'Abel pour démontrer la semi-convergence. Mais ça tu l'as deja fait apparement.

Maintenant, tu cherches la somme. Je suis d'accord pour la séparation des sommes, la ligne après "donc f vérifie...", j'avoue ne pas saisir

thepasboss · 10/04/2008 - 20h20

Et bien pour le première somme je reconnais ln(1+x) et pour la deuxième je reconnais xf(x), après je dérive l'expression et j'obtiens l'équadiff du dessous.

Enfin comme pour la séparation de somme j'ai pu me tromper de mille et une manières au cours de mon calcul