[Analyse complexe] Nature de points singuliers

[Dexter00]

Bonjour,

Soit f(z) = z/sin(z) un fonction complexe.

On cherche la nature des points singuliers de cette fonction.

Tout d'abord, on distingue z = 0 qui est un point singulier apparent puisque la fonction peut être prolongé en 0 en une fonction g(x) avec g(0) = 1.

Reste maintenant PI*k, avec k entier relatif. Et là, on obtient que la limite de f(z) quand z tend vers PI*k (sauf erreur) n'existe pas (le signe change selon que k est pair ou impair). Donc c'est une singularité essentielle...

Je me suis demandé, pourquoi ne pas distinguer deux cas, les points 2*PI*k, et les points 2*PI*k + 1, pour lesquels il y aurait une limite finie ? si c'est faisable, alors ce n'est plus une singularité essentielle...

Merci d'avance.

[breukin]

Ou vois-tu une différence de comportement en kπ selon que k est pair ou impair ?
Dans C, tendre vers +∞ ou –∞ n'a pas de sens, car une fonction analytique tend vers ∞ par toutes les grandes valeurs possibles (l'image d'un disque centré autour d'un pôle contient le complémentaire d'un disque).

[Dexter00]

Non pardon, je m'excuse, il s'agit de la lim (z-PI*k)*z/sinz quand z tend vers Pi*k. C'est là que je trouve une différence de comportement. C'est la limite pour savoir si c'est bien un pole ou pas.

Je trouve pour k pair que la limite est égale à PI*k et -PI*k pour k impair!

[breukin]

Oui, et en quoi est-ce un problème ?
cos kπ = (–1)^k

kπ (sauf k=0) sont les pôles de f(z)=z/sin z car kπ sont les zérôs de sin z.

Quelle est ta définition d'une singularité essentielle et d'une singularité (effective, ici 0 n'est pas une singularité, car f(0)=1 par continuité) non essentielle ?

[Dexter00]

Voici la définition selon wikipedia.org

Le point a est un pôle d'ordre n de f s'il existe une fonction holomorphe sur U, g telle que: f(z) = g(z)/(z-a)ⁿ

Il faut que la lim (z-a)ⁿ*f(z) existe quand z tend vers a et qu'elle soit finie. Or c'est le cas ici.

P.S: est-ce que dire qu'une limite n'existe pas veut dire qu'elle peut être infinie ? normalement, si une limite existe, elle peut être ou finie ou infinie, n'est-ce pas ?

[breukin]

C'est la définition de "essentielle" et "non essentielle" que je demandais.
Car je savais bien ce qu'étais un pôle d'ordre n.

Donc ici, kπ sont des pôles d'ordre 1 ; normal, kπ sont des zéros simples du sinus.

Attention, une fonction holomorphe qui tend vers l'infini y "tend par tous les arguments", vers ce qu'on appelle le "point à l'infini". Elle ne peut pas tendre vers + l'infini réel seulement.
Une fonction non holomorphe peut très bien ne pas avoir de limite du tout, au sens tendre vers toutes les valeurs possibles finies selon la manière dont on se rapproche de la singularité.

[Dexter00]

Une singularité isolée d’une fonction holomorphe f en z = a peut être
de trois types :
1. la fausse singularité : c’est le cas lorsque |f| est bornée dans un voisinage de a (par
le théorème de Riemann f peut alors être prolongée par continuité en a et est en fait
alors holomorphe y-compris en a),
2. la singularité polaire ; c’est le cas lorsque |f| tend vers +∞ en a,
3. la singularité essentielle : |f(z)| n’est pas borné mais ne tend pas non plus vers +∞
lorsque z tend vers a.

Il suffit que lim f(z) = ∞ quand z tend vers a pour que a soit une singularité polaire. ex: f(z) = z/sinz en PI*k.

Une singularité non essentielle veut dire polaire ?

Et donc si la limite de f(z) quand z tend vers a n'existe pas, a une une singularité essentielle. (faut-il dire "n'exsite" pas tout court, ou bien préciser que "elle n'existe pas en tant que nombre complexe et qu'elle n'est pas infinie non plus". ?). ex: f(z) = exp(1/z) en 0

Est-ce que ça résume bien ?

[martini_bird]

Salut,

si f admet une singularité essentielle au point a, on peut montrer (théorème de Picard) que pour tout nombre complexe w, sauf au plus un, il existe un chemin d'extrémité a tel que la limite de f est w quand z tend vers a selon ce chemin.

En d'autres termes, pour tout ouvert U contenant a, l'adhérence de f(U) est égal à C éventuellement privé d'un point.

Cordialement.