Fonction beta d'Euler

Pïngouinche · 14/05/2008 - 22h24

Bonjour,

J'ai besoin de vos lumières à propos de la fonction beta d'Euler.
On la définit par $B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$ .

Pourriez-vous m'aider à établir que B(x+1,y) = x/x+y B(x,y) ? J'ai essayé par IPP mais ça n'aboutit pas... Y a-t-il un changement de varaibles à faire, ou autre chose ?..

De plus, comment calcule-t-on B(1/2,1/2) ?

Merci !

God's Breath · 14/05/2008 - 22h46

Envoyé par Pïngouinche

Bonjour,

J'ai besoin de vos lumières à propos de la fonction beta d'Euler.
On la définit par $B(x,y) = \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} dt$ .

Pourriez-vous m'aider à établir que B(x+1,y) = x/x+y B(x,y) ? J'ai essayé par IPP mais ça n'aboutit pas... Y a-t-il un changement de varaibles à faire, ou autre chose ?..

De plus, comment calcule-t-on B(1/2,1/2) ?

Merci !

On a $B(x,y) = \int_0^1 [t + (1-t)]t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,dt = \int_0^1 t^x (1-t)^{y-1} \,dt + \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^y \,dt = B(x+1,y) + B(x,y+1)$
Une intégration par parties doit permettre d'exprimer $B(x,y+1)$ en fonction de $B(x+1,y)$ .

Bêtement : $B$\frac12,\frac12$ = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{t-t^2}} = \int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{\frac14 - $ t -\frac12 $^2}}$ et l'on peut primitiver avec un arcsinus.

Pïngouinche · 14/05/2008 - 23h07

Bonjour God's Breath,

Houla d'accord, ben je n'aurais jamais trouvé pour la relation entre B(x+1,y) et B(x,y)... Cette question est issue du sujet du CAPES de cette année : ce résultat est classique et censé être connu, ou bien les candidats devaient-ils avoir assez de flair pour intuiter ça d'eux-mêmes ?

Une bidouille de calcul de ce genre dès la deuxième question, c'est pô sympa

God's Breath · 14/05/2008 - 23h18

Envoyé par Pïngouinche

Houla d'accord, ben je n'aurais jamais trouvé pour la relation entre B(x+1,y) et B(x,y)... Cette question est issue du sujet du CAPES de cette année : ce résultat est classique et censé être connu, ou bien les candidats devaient-ils avoir assez de flair pour intuiter ça d'eux-mêmes ?

La décomposition $1 = t+(1-t)$ est des plus classiques ; on l'utilise pour les polynômes de Bernstein par exemple, et on peut décemment penser qu'un candidat au CAPES l'a rencontrée pendant sa préparation.

Quant au calcul de $B(1/2,1/2)$ , il s'agit d'une primitivation classique.
On peut aussi utiliser la relation entre $B(x,y)$ et $B(x+1,y)$ pour se ramener à calculer $B$\frac32,\frac12$ = \int_0^1 \sqrt{\frac{t}{1-t}} \,dt$ avec le changement de variable $x = \sqrt{\frac{t}{1-t}}$ classique dans les intégrales abéliennes.

Pïngouinche · 14/05/2008 - 23h29

Comme quoi, il me reste encore pas mal à progresser avant d'être au niveau pour le CAPES ! (si je bloque déjà sur la question 2, on n'a pas fini... ^^)

Merci, à bientôt !

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