Nombres rationnels : période avec retard

sperca · 04/06/2008 - 12h41

Bonjour,

Je suis entrain de faire des travaux sur les nombres rationnels et je ne parviens pas à trouver pourquoi certains nombres admettent une péiodicité avec retard... J'ai beau chercher sur le Web je n'ai pas trouvé grand chose d'intéressant.

Par exemple 1 / 6 = 0.1666...

Si vous pouviez me donnez quelques pistes

.

Merci à vous.

Bye.

God's Breath · 04/06/2008 - 19h54

Bonjour,

Un nombre dont le développement est périodique, 42 dans l'exemple, est la somme d'une série géométrique, dont on peut facilement exprimer la somme :

$x = 0,42424242... = \sum_{n=1}^\infty 42\,\frac{1}{100^n} = 42\,\frac{\frac{1}{100}}{1-\frac{1}{100}} = \frac{14}{33}$

Dans le cas général d'une période $a$ de $p$ chiffres, on a

$x = \sum_{n=1}^\infty a\,\frac{1}{(10^p)^n} = a\,\frac{\frac{1}{10^p}}{1-\frac{1}{10^p}} = \frac{a.10^p}{10^p-1}$

S'il y a $n$ zéros derrière la virgule, il faut encore multiplier notre résultat par $10^{-n}$ , par exemple $x=0,000424242... = \frac{14}{33000}$
On ne peut atteindre ainsi que les rationnels qui admettent un dénominateur de la forme $10^n(10^p-1)$ .
Le "retard de période" permet d'obtenir les autres...

sperca · 04/06/2008 - 20h54

Merci à toi pour ta réponse,

Alors effectivement ça je suis d'accord mais ce que je voulais savoir c'est que par exemple pour un nombre rationnel décimal, on peut montrer que le dénominateur se décompose en produit de facteurs premiers $2^\alpha 5^\beta$ . Ainsi je me demandais pour les nombres admettant une période à retard mais pas un retard composé de 0, un retard composé de chiffres tels 1 en sachant que le dit nombre n'est pas décimal.

D'où mon exemple avec le 1/6 = 0.1666...

D'ailleurs j'ai vu un aperçu d'explication avec la décomposition du dénominateur en produit de facteurs premiers 2 et 5 où la puissance la plus grande associée à 2 ou à 5 représentait le retard. Par exemple $\frac{1}{8}$ $8 = 2^3$ et donc le retard est de 3 avant la répétition de la période 0. Malheureusement je ne vois absolument pas comment montrer ceci donc si vous aviez quelques pistes, ce serait super

.

Voilà encore merci à vous.

Bye

God's Breath · 04/06/2008 - 22h36

On considère un nombre rationnel de dénominateur $D$ que l'on écrit sous la forme $D=2^a.5^b.d$ où $d$ n'est divisible ni par 2, ni par 5, donc est premier avec toutes les puissances de 10.
Dans $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$ , les $d+1$ entiers $10^0, 10^1, 10^2,..., 10^d$ doivent se répartir dans $d$ classes au plus.
Par le principe des tiroirs, il existe $10^k$ et $10^l$ , avec $k<l$ , qui sont dans la même classe, donc $d$ divise $10^l - 10^k = 10^k(10^{l-k}-1)$ . Comme $d$ est premier avec $10^k$ , le théorème de Gauss assure que $d$ divise $10^{l-k}-1$ que je noterai désormais $10^p-1$ , et l'on a $10^p-1 = qd$ .
D'autre part $\frac{1}{2^a5^b}$ est un nombre décimal que l'on peut mettre sous la forme $\frac{c}{10^n}$ .

Le rationnel initial $\frac{N}{D}$ peut donc être mis sous la forme :

$\frac{N}{D} = \frac{1}{2^a5^b}\,\frac{N}{d} = \frac{c}{10^n}\,\frac{qN}{10^p-1}$

On effectue alors la division euclidienne de $cqN$ par $10^p-1$ , et l'on obtient $cqN = N'(10^p-1)+a$ avec $a < 10^p-1$ , donc $a$ s'écrit avec au plus p chiffres, pour écrire

$\frac{N}{D} = \frac{1}{10^n}$ N' + \frac{a}{10^p-1} $$

où
– $N'$ est un entier ;
– $\frac{a}{10^p-1}$ a un développement décimal avec la période $a$ écrite sur $p$ chiffres (compléter éventuellement l'éciture de $N'$ par des zéros à gauche) ;
– $\frac{1}{10^n}$ opère un déplacement de la virgule pour la placer au bon endroit.

PS : $\frac{a}{10^p-1}$ est la bonne valeur de la somme de la série représentée par le développement périodique. La valeur indiquée dans ma réponse précédente est fausse pour cause d'erreur sur le premier terme de la série géométrique...

sperca · 04/06/2008 - 23h41

Re,

Merci pour cette explication, malheureusement je ne comprends pas trop le principae des classes de d. Serait-il possible de simplifier ce problème histoire de comprendre le principe de la démonstration ?

Merci à vous.

Bye.

God's Breath · 05/06/2008 - 00h24

Un exemple numérique, pour montrer comment ça marche : $x = \frac{533}{74}$ .
Comme $74 = 2 \times 37$ , on cherche $10^p-1$ qui soit multiple de 37.
On les essaie :
– 9 n'est pas multiple de 37 ;
– 99 n'est pas multiple de 37 ;
– 999 = 27.37.
C'est parti : $x = \frac{1}{2}.\frac{533}{37} = \frac{5}{10}.\frac{14391}{999} = \frac{1}{10}.\frac{71955}{999}$ .
On divise 71955 par 999 : 71955 = 72.999 + 27, donc

$x = \frac{1}{10}.$ 72 + \frac{27}{999} $ = \frac{1}{10}.72,027027027... = 7,2027027027$

.

Le problème qui te chagrine est que je puisse toujours trouver mon $10^p -1$ qui soit multiple de $d$ (ici 999 multiple de 37).

On divise $10^p-1$ par $d$ : on obtient un reste $r_p$ . Comme il n'y a que $d$ valeurs possibles (de 0 à $d-1$ ) pour le reste, en calculant $d+1$ restes, je suis certain d'en trouver 2 qui sont égaux (principe des tiroirs).
Si $10^k-1$ et $10^l-1$ ont même reste quand on les divise par $d$ , alors leur différence $(10^l-1) - (10^k-1) = 10^k(10^{l-k}-1)$ est divisible par $d$ .
Comme $d$ (qui n'est divisible ni par 2 ni par 5) est premier avec $10^k$ , il divise $10^{l-k}-1$ . Je trouverais donc $p = l-k$ .
Dans la pratique, on trouve directement $10^p-1$ multiple de $d$ : pour trouver 2 restes égaux, il faudrait aller jusqu'à $10^l-1$ , et $p = l-k < l$ , on aura donc testé $10^p-1$ sans avoir besoin de tester $10^l-1$ .