intervalle de convergence et somme de séries entières

herman · 19/06/2008 - 10h01

Bonjour,

Il me manque une astuce pour résoudre un exercice :

Il faut l'intervalle de convergence et la somme des séries entière ci-dessous :
$\sum_{n\geq 0}x^n$
$\sum_{n\geq 0}\frac{x^n}{n+1}$
$\sum_{n\geq 2}\frac{x^n}{n-1}$
$\sum_{n\geq 2}\frac{x^n}{n^2-1}$

Bon pas de problème pour les trois premières, je ne détaille pas mais en gros ce sont des intervalle qui vont jusqu'en +/- 1 et on part pour la première pour la somme sur :
$\frac{1}{1-x}$
La seconde n'est autre que la primitive de la première divisé par x et la troisième on peut changer le n par n+2 et ainsi descendre le $n\geq 2$ à $n\geq 0$ . On a donc la même primitive mais multiplié par x cette fois.

Par contre la quatrième, je ne vois pas l'astuce pour calculer la somme... (même si on reconnait facilement que n²-1 = (n+1)(n-1) je ne vois pas comment faire au niveau des x...), j'avais pensé à primitiver éventuellement le x mais ça me semble bizarre ?

Merci de votre éclairage

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