bonjour à tous !
voici un des exercices d'un Dm que je n'arrive pas à résoudre, pouvez-vous m'aider ?
un triangle ABC isocele de sommet principal A est inscrit dans un cercle de centre O de rayon I.
H est le projeté orthogonal de A sur [BC]. soit x la mesure en radians de (vecteur OH ; vecteur OB) avec 0<x<pi/2.(c'est inferieur ou egal)
1) exprimer en fonction de x l'aire du triangle ABC.
2)a) resoudre dans [0;pi/2] l'inequation cos x > 1/2.
2)b) resoudre dans [0;pi/2] l'equation 2cos²x + cos x -1 = 0.
2)c) determiner dans [0;pi/2] le signe de l'expression 2cos²x+cos x - 1 .
3) soit la fonction f definie sur [0;pi/2] par f(x)=sin x (1+cos x)
a) calculer f'(x) et exprimer f'(x) en fonction de cos x.
b) etudier les variations de f sur [0;pi/2]
c) determiner la valeur de x pour laquelle l'aire du triangle ABC est maximale.
je vous remercie de votre aide ! bonne soirée.
voila ce que j'ai trouvé :
1/.. aire ABC= 2 (BH *AH )/2
on considere AB = AC = 1
sin x = BH
cos x = OH
aire ABC = 2 sinx( 1 + cosx)/2
tu simplifies par 2 et tu as le resultat
2/ a . cos x > 1/2 donc x > pi/3 donc pi/2 > x > pi/3
2/ b . on pose X = cos x avec la condition de X appartient à [ 0 ; 1]
on a alors 2 X² + X - 1 = 0
qui a deux racines X = 1/2 donc x= pi/3 . l'autre racine est X = - 1 qui ne fait pas partie de notre intervalle de definition.
2/ c . on trouve que l'expression 2 cos² + cos x - 1 est > 0 pour x de 0 à pi/3 et <0 pour x de pi/3 à pi/2
3/ f(x) = sin x ( 1+ cos x) qui en fait est l'expression de la surface du triangle ABC
pour f'(x) tu as trouve le bon resultat.
a . f'(x) = cos x (1+cos x ) - sin² x
= cos x + cos²x - 1 + cos² x
= 2 cos²x + cos x -1
b . on peut donc dire que f(x) est croissant de 0 à pi/3 et decroissant de pi/3 à pi/2.
c . Le maximum est pour x = pi/3 et f(x) vaut (sin pi/3)(1 + cos pi/3)
= racine3/2( 1 + 1/2) = (3racine3)/4
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