quadrature du cercle

[ClaudeH]

Ce sujet a peut-être été abordé.

Comment construire un cercle et un carré de même aire, à l'aide d'un compa et d'une règle.
Il parrait que c'est impossible. (Lindemann)

Effectivement si nous prenons:
a^a --> aire du carré.
Pi*r^r --> aire du cercle.

Nous avons l'égalité suivante a^a = pi*r^r
Avec r=1 ---> a^a = pi*1^1
Donc a = racine de pi
Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal. Je suis ok.
Pourtant si je prends une simple ficelle et noue les deux bouts je pourrais lui faire prendre aussi bien la forme d'un carré ou d'un cercle sans en altérer l'aire.

D'ou vient cette différence?
Merci de pouvoir m'éclairer..

[Coincoin]

Salut,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre... Tu prens une ficelle refermée sur elle-même ? Dans ce cas, c'est le périmètre qui est le même, pas l'aire, non ?

[g_h]

a^a --> aire du carré.
Pi*r^r --> aire du cercle.

c'est pas plutôt a*a et r*r ?

[erik]

Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal

.
Bon en fait Pi est un nombre transcendant pas "transcendantal", mais bon peu importe, la principal est qu'il n'est pas possible de construire à la règle et au compas la racine carre d'un nombre transcendant.(sinon à part ça la racine carré d'un nombre transcendant positif existe)
Il est facile de construire (dessiner) la racine carré d'un entier (par exemple pour "dessiner" sqr(2) il suffit de construire la diagonale d'un carré de cote 1, ce qui est facile à l'aide uniquement d'un compas et d'une règle). Par contre pour les nombres transcendant on est coincé.

Pourtant si je prends une simple ficelle et noue les deux bouts je pourrais lui faire prendre aussi bien la forme d'un carré ou d'un cercle sans en altérer l'aire

Comme le fait remarquer coincoin tu as des périmetres egaux pas l'aire, mais peu importe, l'important c'est que ton opération "je prends une ficelle..." n'est pas équivalente à une construction à la règle et au compas.

Est ce clair ?
Erik

[ClaudeH]

Salut,
Je ne suis pas sûr de bien comprendre... Tu prens une ficelle refermée sur elle-même ? Dans ce cas, c'est le périmètre qui est le même, pas l'aire, non ?

Oui autant pour moi je vais un peu trop vite dans mes petis calculs.

[Coincoin]

Oui autant pour moi je vais un peu trop vite dans mes petis calculs

C'était juste pour m'assurer que j'avais bien compris...

Pi ne peut avoir de racine étant un nombre transcendantal

C'est faux dit comme ça... Tout nombre positif a bien évidemment une racine. Par contre, en tant que nombre transcendant, Pi ne peut pas être (par définition) racine (au sens de solution) d'une équation algébrique a coefficients rationnels. D'ailleurs si Erik pouvait développer le point :

c'est que ton opération "je prends une ficelle..." n'est pas équivalente à une construction à la règle et au compas.

...et notamment expliciter en quoi on peut relier ça aux équations et aux nombres transcendants.

[Quinto]

Les principes de construction et de nombres constructibles ne sont pas évident à expliquer, et reposent sur la théorie des groupes et des corps de Galois, je doute qu'on puisse apporter une réponse simple et compréhensible par tous à ce sujet...

[Coincoin]

Et une réponse compliquée mais pas trop longue, c'est possible ?

[erik]

Ok Coincoin je vais tenter de développer,

Dans les constructions à la règle et au compas les deux seul outils autorisés sont donc un compas (qui peut avoir un écartement aussi grand que nécessaire) et une régle (non graduée), les seules "opérations" permises sont donc tracer des droites (ou des segment de droites) et des cercles (ou des arcs de cercles). A partir de ces contraintes la question est : est il possible de tracer telle ou telle figure.

On montre facilement que l'on peut tracer des figures simples genre un carre, un triangle equilatéral etc

Par extension une vielle question a été "puis je tracer un segment de droite d'une taille donnée ?".
Pour un segment de taille entière (disons n) pas de probleme : je trace un segment de longueur 1 (la regle n'est pas graduée mais je peut choisir "l'echelle" que je veux - donc je trace un segment et je pose : ce segment a une longueur égale à un), j'ecarte mon compas de manière à ce que la pointe et la mine corresponde aux extremitées de mon segment, je prolonge (à l'aide de la règle) mon segment, à l'aide du compas qui a un écartement correspondant à l'unité je repporte n fois l'unité sur ma droite, je fini par obtenir un segment de longueur n.
Pour obtenir un segment de taille rationnel, pareil pas trop de problèmes on s'en sort (par exemple pour un segment de taille n/2 il suffit de tracer la bissectrice d'un segment de taille n).
Comme je les disais 3 post plus haut on peut egalement obtenir des segments de taille racine(n). (même si les pythagoriciens étaient embetés par ce fait - c'est une autre histoire).
On arrive à démontrer qu'il est possible de construire n'importe quel segment dont la taille est solution d'une équation algebrique.

Au XIXe siecle on demontre que seul les segments ayant une taille solution d'une équation algébrique sont constructibles.
Il est donc impossible de construire un segment de taille Pi, e, ...

Quand claudeH prend sa ficelle de longueur 2*Pi, et qu'il la divise en quatre pour en faire un carré, il suppose qu'il est possible à partir d'un cercle de dessiner un segment de longueur Pi et comme je viens de le dire ceci n'est pas possible (du moins avec nos outils limités : une règle, un compas).

Historiquement on a démontré l'impossibilité de construction d'un nombre transcendant à la règle et au compas, puis la transcendance de Pi (par des méthodes purement analytique) donc on en a déduit l'impossibilité de la quadrature du cercle.

Ais je répondu à la question ?

Erik

[Coincoin]

Ais je répondu à la question ?

Tout à fait oui... Et je comprends que les deux lignes suivantes soient difficilement explicables :

On arrive à démontrer qu'il est possible de construire n'importe quel segment dont la taille est solution d'une équation algebrique.

Au XIXe siecle on demontre que seul les segments ayant une taille solution d'une équation algébrique sont constructibles.

[erik]

Oui pas facile en quelques lignes, comme l'a dit quinto la démo passe par la théorie des groupes, il existe un très bon bouquin exclusivement consacré au lien entre théorie des groupes et constructions géométriques, malheuresement j'ai complètement oublié le nom de l'auteur, le titre et la maison d'édition. mais si tu es sur Paris il était dispo à la bibliothèque second cycle math de jussieu.

Erik

[Quinto]

Il me semble qu'il faut que le polynome soit de degré une puissance de 2, non?

[erik]

Youps,
Effectivement quinto, j'ai dit une connerie, il faut que le polynome soit de degré une puissance de 2, d'ailleurs un autre probleme antique (similaire à la quadrature du cercle) était la duplication du cube (suite à la demande du dieux Appollon d'avoir un trone deux fois plus grand), ce probleme n'est pas non plus résoluble à la règle et au compas, du fait que la racine troisième de 2 (qui n'est pas sol d'un polynome pair) n'est pas tracable à la règle et au compas.

Comme punition, je m'impose dans les plus bref délais la relecture de daphne.math.polytechnique.fr/ ~chambert/teach/algebre.pdf

Erik

[erik]

Je ne sait pas pourquoi j'ai dit "racine troisième" je voulait dire bien sur racine cubique.

[SPH]

Moi qui aime les math et la logique, je veux poser une question pour savoir si j'ai bien compris :

Avec un compas et une regle non graduée, et possédant sur notre papier un petit segment dessiné dont la longueur est "1", on n'arrivera jamais a dessiner un segment représentant dans l'absolu la valeur PI ?