petit exercice topologie produit

nawram88 · 08/10/2008 - 11h19

on se done un espace topologique E
montrons que
E est séparé ssi {(x,x);x appartient E} est un fermé de E
bonne chance

rhomuald · 08/10/2008 - 13h06

Bonjour,

on note $D_E$ la diagonale de $E\times E$ ,

pour le sens direct, si $E$ est séparé, pour montrer que $D_E$ est fermé,
il suffit de montrer que $U=E^2\setminus D_E$ est ouvert (ie voisinage de chacun de ses points).
On considère alors un point $(x,y)\in U$ , comme $E$ est séparé, il existe des ouverts disjoints $U_x$ et $U_y$ tels que $x\in U_x$ et $y\in U_y$ .
On a bien $U_x\cap U_y\subset U$ donc $U$ est ouvert.

Pour la réciproque tu peux essayer par contraposée, supposes que $E$ n'est pas séparé, et essaies de montrer que $D_E\neq \overline{D_E}$ .

God's Breath · 08/10/2008 - 13h11

Envoyé par rhomuald

il suffit de montrer que $U=E^2\setminus D_E$ est ouvert
On considère alors un point $(x,y)\in U$ , comme $E$ est séparé, il existe des ouverts disjoints $U_x$ et $U_y$ tels que $x\in U_x$ et $y\in U_y$ .
On a bien $U_x\cap U_y\subset U$ donc $U$ est ouvert.

Les voisinages $U_x$ et $U_y$ sont des parties de $E$ , donc $U_x\cap U_y$ aussi, et ne saurait donc être inclus dans $U$ qui est une partie de $E^2$ (en fait si parce que $U_x\cap U_y = /emptyset$ ...).

C'est en fait $U_x\times U_y\subset U$

rhomuald · 08/10/2008 - 13h12

Envoyé par God's Breath

Les voisinages $U_x$ et $U_y$ sont des parties de $E$ , donc $U_x\cap U_y$ aussi, et ne saurait donc être inclus dans $U$ qui est une partie de $E^2$ .

C'est en fait $U_x\times U_y\subset U$

désolé une coquille