Evariste GALOIS, équations 5ème degré

[Gabriel]

Evariste GALOIS a démontré que les équations polynomiales de degré égal ou supérieur à 5, ne pouvaient pas, sauf cas particuliers, être résolues par radicaux.
Plus tard, d'autres mathématiciens ont montrés que ces équations pouvaient être résolues par des fonctions elliptiques.
Quelqu'un pourrait-il me donner un exemple d'équation polynomiale de degré égal à 5, ne pouvant pas être résolue par radicaux, et m'expliquer comment on la résoud par les équations elliptiques ?
Merci.

[invite986312212]

x^5 - 6x + 3

[Ksilver]

Salut !


ou encore x^5-x+1... en fait les polynome de degrée 5 résoluble par radicaux sont plutot rare...

en feuilltant un peu sur wikipedia tu trouvera probablement des articles sur la résolution de equation de degrée 5, avec notement une cns sur les coeficient pour que l'equation soit résoluble (par radicaux) et des expressions des solutions géneral utilisant des radicaux de bring ou des séries hypergéométrique... avec un peu de chance peut-etre meme celle avec les fonction elliptique... mais ces methodes devienne vraiment de plus en plus moche (déja cardan et ferari c'est horrible... alors pour le degrée 5 ca s'arrange pas...) et c'est vraiment inutilisable. (disont que la seul partie interessant c'est de comprendre comment la theorie de Galois fournit ces methodes de résolutions...)

[Gabriel]

Merci "Ambrosio" et "Ksilver" pour vos réponses qui me laissent un peu sur ma faim.
Comment résolvez-vous les équations :
x^5 -6x+3 = 0 et x^5-x+1=0 ??

[Ksilver]

Essentiellement, on ne les résouds pas ^^ Si tu veux vraiment des "formules" qui donne les solutions tu peux regarder à : http://fr.wikipedia.org/wiki/Radical_de_Bring


mais ce type de formule n'as que trés peu d'interet. il y a essentiellement deux facon d'étudier les solutions de ce type d'equation :
1) les résoudre numériquement, la methode de newton permet de calculer numériquement les solutions en précisions arbitraire tres rapidement

2) d'un point de vue algébrique : la racine de cette equation est un nombre, on le note (par exemple) a, et on sait qu'il vérifie une relation algébrique : a^5=a-1, ce qui nous dit par exemple que 1/a=1-a^4 etc...

si on a bessoin des 5 racines simultanément on les apelle a1,a2...a5 et on a alors des relations du type a1+...+a5=0, a1*...*a5=1 , et toute les autres fonctions symétriques en les ai...

Savoir que ces nombres peuvent s'ecrire en terme d'une fonction 'BR' ou d'une fonction elliptique ne t'apportera pas grand chose de plus...

[Gabriel]

Merci pour ta réponse.
Je laisse de côté la méthode de newton par approximations succéssives.
Concernant la méthode algébrique de Bring je vais voir ton site wikipedia.

Je voudrais savoir comment s'écrivent les solutions, ou autrement dit, quelle est la "gueule" des solutions (en prenant ton équation par exemple) : y a t'il des exponentielles, des sinus hyperboliques, ... ?

Les solutions des équations polynomiales du 5ème degré, s'inscrivent t'elle dans une théorie des ensembles, du genre de la théorie d'Evariste GALOIS ?

[Ksilver]

Plus ou moins...

j'ai déja lu un papier qui expliquait comment on trouvé des formules de résolution des equations du 5e degrée à partir de la theorie de galois...

La logique c'est d'essayer de trouver une famille d'equation suffisement géneral qu'on sait resoudre Pa(X)=0 pour a un nombre complexe parcourant C (par exemple, les equations Pa(X)= x^5-x+a dans la methode de bring...). et de montrer (en géneral par de la theorie de Galois...) que pour toute equation polynomial Q(X)=0, on peut trouver un a telle que si on note y une racine de Pa(y) et x une racine de Q(x), alors l'extension Q[x,y]/Q[y] est résoluble ce qui veut dire en francais que x s'exprime en fonction de y est de radicaux...

Les fonction elliptique donne une autre famille de fonction Pa (mais pas beaucoup plus interessant que celle de Bring)

IL me semble (à moins que ca ne soit une conjecture ? ) qu'on à aussi prouver qu'il n'existait pas de telle famille à un paramétre pour les equations de degrée supérieur à 6, ce qu'on interpréte en géneral en disant que les equation de degrée 6 ne sont pas résoluble par des fonction d'une seul variables... mais la je me trompe peut-etre...

[Gabriel]

Merci.
As-tu quelques livres de math traitant de ce sujet, à me conseiller ?

[Ksilver]

Tout dépend de ton niveaux en math...

pour étudier ce genre de chose il faut maitriser la théorie de Galois... qui en elle meme n'est pas quelque chose de tres compliqué mais il faut avant avoir étudier l'algèbre élementaire (groupe,anneau,corps etc...)

Dans la catégorie vulgarisation, tu peux jeter un Oeil à ce document et à ca bibliographie : http://math.umh.ac.be/preprints/src/Godefroy.pdf

Pour la theorie de Galois, tu trouve divers poly sur internet qui explique tous cela :
http://iml.univ-mrs.fr/~secherre/CoursGalois.pdf
ou ici :
http://www.les-mathematiques.net/pages/cours_zip.php3 (cherche un peu dans la page)
ou encore le plus volumineux :
http://www.math.polytechnique.fr/~ch...ch/algebre.pdf

ou encore en tapant "theorie de Galois" dans google ^^


pour les histoir de résolution des equation de degrée 5 par des fonctions elliptique je n'arrive pas du tout à retrouver le papier dont j'ai parlé lors de mon post précédant... mais ce n'etait pas vraiment un lecture des plus facile...

[Gabriel]

OK, tes explications + la doc , me permettront de soulever un coin du voile ...