question probablement stupide pour un mathematicien...

[gainde]

bonjour

je voudrais savoir comment concretement dire si un systeme d'equation differentielle est lineaire ou non..

aussi j'etudie un systeme avec 3 equation et voudrais avec 4,
pour l'analyse numerique pas de probleme, mais pour l'analyse des valeurs propres et leur signes ca devient difficle (les solutions des valeurs propres sont un peu complique...)
j'ai enetendu parler d'analyse avec les exposant de lyapunov,
quelqu'un y connait quelque chose, ou meme un site qui l'explique simplement (utilisation)

je suis biologiste (dynamique des populations), donc c'est l'utilisation qui m'interesse le plus..
merci

[Quinto]

Salut,
pour la 1e question, un systeme est linéaire s'il n'est question que de
ax+by+cz+...+nw ou a,b,c....n sont des fonctions du temps uniquement.

En fait il est linéaire ssi il existe une matrice M telle que
X'=MX+B(t)
où M est une matrice de fonctions, et B est un vecteur colonne, fonction de t.

Par exemple
x'=xy
y'=x
n'est pas linéaire parce qu'il y'a le produit xy.
Par contre,
x'=3x+2y
y'=3y+1
est linéaire
Parce que l'on a que des somme de produit des variables par des constantes...

[gainde]

resalut, et merci,
mais,

alors pour un systeme non lineaire, comment savoir si le point d'equilibre est attracteur ou non

j'ai donc utilise les valeurs propres mais une etude analytique est trop complique, je crois, chaque valeur propres fait plus de 20-30 lignes... alors impossible de determiner quand elles sont positive ou non, de plus je trouve des valeurs propres sans membre reel...

existe-il d'autre methode analytique!!!!????

[Quinto]

Salut,
pour ce qui est de la stabilité des points critique, cela se fait à partir du signe des parties réelles:

si toutes strictement négatives le point est asymptotiquement stable
si une strictement positive, le point est instable.
Sinon, ca dépend, si le systeme est linéaire ou non. Si non linéaire, on ne peut rien dire a priori (parfois une petite étude suffit à conclure, parfois on ne sait pas)
Si une/plusieurs partie réelle est nulle, et les autres négatives, alors le point est stable (non asymptotiquement).
Sinon instable.

Pour ce qui est des noeuds etc, je ne suis pas assez qualifié pour te répondre sur le sujet, mais ce que je dis au dessus est vrai pour des systemes de taille quelconque...

[Quinto]

Je pense qu'on ne parle pas de la meme chose, tu veux connaitre le signe des valeurs propres?
Pour cela, je ne sais pas faire ca de manière analytique, mais je sais que certaines branches étudient ceci, mais moi non
J'espère que tu auras ta réponse rapidement.
Bonne chance.
A+