Meta-mathématique

[FAN FAN]

Bonjour,

J'ai lu quelque part qu'il existe des proposition vraies qui ne sont pas démontrables.
En conséquence, j'en déduis qu'on ne pourra jamais exhiber une telle proposition.
En effet, supposons que j'exhibe la proposition P à la fois non démontrable et et dont je sais qu'elle est vraie.
Cela n'est pas possible: cela est contradictoire car si elle est non démontrable, je ne peux pas savoir si elle est vraie.

Donc il n'est pas possible de trouver des propositions à la fois vraies et non démontrables.

Quelqu'un aurait-il quelques idées sur ce sujet ?
-----

[physeb]

c'est ce qu'on appel un axiome non?

[Jeanpaul]

Démontrer une proposition ça ne se fait pas à partir de rien, il existe des postulats de base et ce n'est pas évident de bâtir un tel système de postulats qui ne mène pas à des contradictions.
Par exemple, le théorème d'Euclide : par un point extérieur à une droite, on ne peut tracer qu'une parallèle à cette droite. Ca ne peut pas se démontrer, et pourtant c'est vrai, mais pas toujours. Ca dépend de l'espace où on travaille. C'est vrai dans un espace euclidien mais pas sur une sphère ou une selle de cheval.

[Médiat]

Re ne reviens pas une n-ième fois sur le vocabulaire, je me suis déjà exprimer sur le sujet.

Donc il n'est pas possible de trouver des propositions à la fois vraies et non démontrables.
Quelqu'un aurait-il quelques idées sur ce sujet ?

Oui, Gödel a une idée sur la question : Soit p la proposition "Cette proposition n'est pas démontrable", alors si elle est vraie elle n'est pas démontrable, mais si elle est fausse alors elle est démontrable donc vraie ce qui est une vraie contradiction. Cet exemple a l'air de ne pas être très mathématique, mais une explication plus complète se trouve dans le pdf attaché au message #22 du fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...metique-2.html

[A voir en vidéo sur Futura]

[FAN FAN]

Re ne reviens pas une n-ième fois sur le vocabulaire, je me suis déjà exprimer sur le sujet.

Oui, Gödel a une idée sur la question : Soit p la proposition "Cette proposition n'est pas démontrable", alors si elle est vraie elle n'est pas démontrable, mais si elle est fausse alors elle est démontrable donc vraie ce qui est une vraie contradiction. Cet exemple a l'air de ne pas être très mathématique, mais une explication plus complète se trouve dans le pdf attaché au message #22 du fil : http://forums.futura-sciences.com/ma...metique-2.html

Je trouve cet exemple un peu tordu, car ta proposition est une proposition qui porte sur elle-même. C'est l'histoire du Barbier de B. Russell. J'élimine d'emblée ce type de proposition qui "propose" sur elle-même.

[Médiat]

J'élimine d'emblée ce type de proposition qui "propose" sur elle-même.

C'est ton choix, mais tu ne comprendras donc jamais le théorème d'incomplétude de Gödel.

Puis-je me permettre de supposer que tu n'as pas lu le pdf cité ?

[invited9ab8c2f]

Bonjour,
je vais être un peu hors sujet....désolée!
Médiat, tu en as fais d'autre des écrits sur des approches des maths? Si ils sont sur le site, comment faire la recherche pour les trouver?
Merci,
et je m'excuse auprès du groupe pour cette demande hors post!

[invité576543]

Je trouve cet exemple un peu tordu, car ta proposition est une proposition qui porte sur elle-même.

Parce qu'elle est présentée ici en "langage courant". Gödel en a fait une version formelle, qui n'est pas attaquable par cette critique.

Cette présentation formelle ne peut pas être expliquée en un message court, d'où le recours au langage courant.

En essayant un poil plus loin, mais toujours sans rentrer dans le formel, on peut expliquer comme suit.

Gödel numérote les expressions d'une manière formelle, c'est à dire dépendant uniquement du contenu formel de l'expression (des symboles utilisés et de leur ordre), et montre l'existence obligatoire d'une expression disant "l'expression numéro xyz n'est pas démontrable" où xyz est un nombre, et qui se trouve avoir comme numéro xyz. L'expression ne parle pas d'elle-même, mais d'un nombre, ce qui amène une différence fondamentale avec les paradoxes basés sur le langage courant.

En espérant que cela t'encourage à aller lire les textes qui développent cela proprement.

Cordialement,

[Médiat]

Bonjour,
je vais être un peu hors sujet....désolée!
Médiat, tu en as fais d'autre des écrits sur des approches des maths? Si ils sont sur le site, comment faire la recherche pour les trouver?
Merci,
et je m'excuse auprès du groupe pour cette demande hors post!

Bonjour, Le seul autre "document" est le post-it sur 0⁰.
Je réfléchis à d'autres sujets comme les théories alternatives des ensembles ou les infinitésimaux, mais ce sont de vastes sujets, et peut-être ne verront-ils jamais le jour ...

[FAN FAN]

Parce qu'elle est présentée ici en "langage courant". Gödel en a fait une version formelle, qui n'est pas attaquable par cette critique.

Cette présentation formelle ne peut pas être expliquée en un message court, d'où le recours au langage courant.

En essayant un poil plus loin, mais toujours sans rentrer dans le formel, on peut expliquer comme suit.

Gödel numérote les expressions d'une manière formelle, c'est à dire dépendant uniquement du contenu formel de l'expression (des symboles utilisés et de leur ordre), et montre l'existence obligatoire d'une expression disant "l'expression numéro xyz n'est pas démontrable" où xyz est un nombre, et qui se trouve avoir comme numéro xyz. L'expression ne parle pas d'elle-même, mais d'un nombre, ce qui amène une différence fondamentale avec les paradoxes basés sur le langage courant.

En espérant que cela t'encourage à aller lire les textes qui développent cela proprement.

Cordialement,

Indépendamment de la lecture du document en référence (que je me promets d'étudier attentivement), je réitère ma question qui appelle une réponse:
Je ne nie pas qu'il puisse avoir des propositions à la fois vraies et indémontrables. Ce que je dis c'est qu'on ne peut pas en exhiber une.
Supposons qu'on en exhibe une: Si elle est indémontrable, c'est à dire que je sais que je ne peux pas démontrer sa véracité, alors je ne pas savoir si elle est vraie : vraie et indémontrable sont incompatibles avec la donnée d'une proposition explicite (de même dualement faux et indémontrable).
Ce que je voudrais savoir c'est pourquoi ce raisonnement serait faux indépendamment de toute référence à Godel et au théorème d'incomplétude...

[invité576543]

ISi elle est indémontrable, c'est à dire que je sais que je ne peux pas démontrer sa véracité, alors je ne pas savoir si elle est vraie : vraie et indémontrable sont incompatibles avec la donnée d'une proposition explicite (de même dualement faux et indémontrable).
Ce que je voudrais savoir c'est pourquoi ce raisonnement serait faux indépendamment de toute référence à Godel et au théorème d'incomplétude...

C'est un problème de vocabulaire, comme une brève mention dans le message de Médiat l'indique (ou du moins le comprends-je ainsi).

Pour pouvoir discuter rationnellement du sujet tel que tu le proposes, il faut définir très précisément le mot "vrai". Ton texte laisse penser que tu l'utilises de manière "commune", autrement dit avec un sens somme toute flou. (Ou encore que tu considères que vrai=démontrable, auquel cas ta position est trivialement correcte, sauf que tu devrais alors te douter que ce n'est pas ça!)

Dans ce que "tu as lu quelque part", le sens du mot "vrai" était en toute vraisemblance bien plus précis, et différent de "démontrable". Là encore, le plus simple est de lire les textes développant le sujet, et de faire l'effort de comprendre le mot "vrai" dans le contexte.

Cordialement,

[FAN FAN]

C'est un problème de vocabulaire, comme une brève mention dans le message de Médiat l'indique (ou du moins le comprends-je ainsi).

Pour pouvoir discuter rationnellement du sujet tel que tu le proposes, il faut définir très précisément le mot "vrai". Ton texte laisse penser que tu l'utilises de manière "commune", autrement dit avec un sens somme toute flou. (Ou encore que tu considères que vrai=démontrable, auquel cas ta position est trivialement correcte, sauf que tu devrais alors te douter que ce n'est pas ça!)

Dans ce que "tu as lu quelque part", le sens du mot "vrai" était en toute vraisemblance bien plus précis, et différent de "démontrable". Là encore, le plus simple est de lire les textes développant le sujet, et de faire l'effort de comprendre le mot "vrai" dans le contexte.

Cordialement,

Le sens que je donne à "vrai" est celui que l'on utilise quand on démontre un théorème, à savoir non contradiction avec les axiomes ou d'autres théorèmes déjà démontrés comme "vrais". Par exemple, c'est ce que j'utilise quand je démontre une proposition (ou son contraire) par l'absurde.

[Médiat]

C'est un problème de vocabulaire, comme une brève mention dans le message de Médiat l'indique (ou du moins le comprends-je ainsi).

Et tu as raison de le comprendre ainsi.

Le sens que je donne à "vrai" est celui que l'on utilise quand on démontre un théorème,

Avec cette définition "vrai pour toi" = démontrable, et je ne vois pas comment une proposition pourrais être à la fois démontrable et non démontrable dans une même théorie.

à savoir non contradiction avec les axiomes ou d'autres théorèmes déjà démontrés comme "vrais".

Avec cette définition, "vrai pour toi" = non réfutable ; par exemple la commutativité est non réfutable dans la théorie des groupes, mais pour le sens commun , la commutativité n'est pas "vraie" dans la théorie des groupes.

Je me vois contrains de revenir sur ce sujet : en math, je ne vois pas quel sens donner à l'expression "p est vraie" autre que :
1) p est réalisée dans tel modèle ( à condition de préciser le modèle)
2) p est réalisée dans tous les modèles

La logique du premier ordre étant complète et robuste (théorème de Gödel) il y a identité entre le point 2 et "p est démontrable".

Par contre avec la signification 1 c'est une banalité absolue que de trouver des propositions vraies dans un modèle et non démontrables (pour peu que la théorie ne soit pas complète), par exemple : "la commutativité est vraie dans le groupe ", alors que la commutativité n'est pas démontrable dans la théorie des groupes.

La signification 1 est souvent utilisée sans préciser le modèle (ce qui à mes yeux est soit une erreur, soit du journalisme) lorsqu'il existe un modèle plus naturel que les autres, voir un modèle standard, comme c'est le cas pour l'arithmétique de Peano.

[FAN FAN]

Et tu as raison de le comprendre ainsi.


Avec cette définition "vrai pour toi" = démontrable, et je ne vois pas comment une proposition pourrais être à la fois démontrable et non démontrable dans une même théorie.

Avec cette définition, "vrai pour toi" = non réfutable ; par exemple la commutativité est non réfutable dans la théorie des groupes, mais pour le sens commun , la commutativité n'est pas "vraie" dans la théorie des groupes.

Je me vois contrains de revenir sur ce sujet : en math, je ne vois pas quel sens donner à l'expression "p est vraie" autre que :
1) p est réalisée dans tel modèle ( à condition de préciser le modèle)
2) p est réalisée dans tous les modèles

La logique du premier ordre étant complète et robuste (théorème de Gödel) il y a identité entre le point 2 et "p est démontrable".

Par contre avec la signification 1 c'est une banalité absolue que de trouver des propositions vraies dans un modèle et non démontrables (pour peu que la théorie ne soit pas complète), par exemple : "la commutativité est vraie dans le groupe ", alors que la commutativité n'est pas démontrable dans la théorie des groupes.

La signification 1 est souvent utilisée sans préciser le modèle (ce qui à mes yeux est soit une erreur, soit du journalisme) lorsqu'il existe un modèle plus naturel que les autres, voir un modèle standard, comme c'est le cas pour l'arithmétique de Peano.

La commutativité n'est évidemment pas démontrable dans la théorie des groupes car elle n'est pas vraie (il existe des groupes non commutatifs)

[Médiat]

La commutativité n'est évidemment pas démontrable dans la théorie des groupes car elle n'est pas vraie (il existe des groupes non commutatifs)

Oui, c'est ce que j'ai dit, sans me sentir obligé de mettre en gras ; j'avoue ne pas comprendre le sens de ton intervention ...

[FAN FAN]

Oui, c'est ce que j'ai dit, sans me sentir obligé de mettre en gras ; j'avoue ne pas comprendre le sens de ton intervention ...

Mon intervention est motivée par le fait suivant que je veux mettre en évidence afin que l'on me le confirme ou, éventuellement, infirme :

"Il n'est pas possible d'exhiber une proposition à la fois vraie et indémontrable (pour un système d'axiomes non contradictoires donné), bien que de telles propositions existent bel et bien".

[Médiat]

Mon intervention est motivée par le fait suivant que je veux mettre en évidence afin que l'on me le confirme ou, éventuellement, infirme :

"Il n'est pas possible d'exhiber une proposition à la fois vraie et indémontrable (pour un système d'axiomes non contradictoires donné), bien que de telles propositions existent bel et bien".

Je t'ai donné un exemple, celui de Gödel, pour l'arithmétique.
Sinon, tu n'as toujours pas donnée de définition satisfaisante de "vraie" pour toi dans la phrase précédente.

[FAN FAN]

Je t'ai donné un exemple, celui de Gödel, pour l'arithmétique.
Sinon, tu n'as toujours pas donnée de définition satisfaisante de "vraie" pour toi dans la phrase précédente.

"vraie" (pour un système d'axiomes) c'est à dire non contradictoire avec ce système.

[Thorin]

..........

[Médiat]

"vraie" (pour un système d'axiomes) c'est à dire non contradictoire avec ce système.

Je répète que ce que tu définis ici n'est pas une proposition vraie mais une proposition non réfutable ; mais en prenant cette définition tu es en train de dire que la commutativité est vraie dans la théorie des groupes (tu es d'accord que la commutativité n'est pas contradictoire avec les axiomes de la théorie des groupes, n'est-ce pas ?), contrairement à ce que tu disais hier à 17h44.

[FAN FAN]

Je répète que ce que tu définis ici n'est pas une proposition vraie mais une proposition non réfutable ; mais en prenant cette définition tu es en train de dire que la commutativité est vraie dans la théorie des groupes (tu es d'accord que la commutativité n'est pas contradictoire avec les axiomes de la théorie des groupes, n'est-ce pas ?), contrairement à ce que tu disais hier à 17h44.

Ben, justement non, je ne suis pas d'accord, la proposition suivante:
"tous les groupes sont commutatifs" est en contradiction avec les axiomes de groupes car, tout en satisfaisant ces axiomes, je peux trouver un groupe non commutatif.
Donc pour moi cette proposition n'est pas vraie car en contradiction avec les axiomes de groupes qui justement autorisent des groupes non commutatifs...?
En conséquence la commutativité est en contradiction avec les axiomes de groupes puisque l'ensemble des groupes (l'ensemble des "entités" satisfaisant aux axiomes en question) n'ont pas tous cette propriété de commutativité).
Je dois dire que, après cette discution, les choses se sont plutôt obscurcies pour moi...

[invite7863222222222]

Ben, justement non, je ne suis pas d'accord, la proposition suivante:
"tous les groupes sont commutatifs" est en contradiction avec les axiomes de groupes car, tout en satisfaisant ces axiomes, je peux trouver un groupe non commutatif.
Donc pour moi cette proposition n'est pas vraie car en contradiction avec les axiomes de groupes qui justement autorisent des groupes non commutatifs...?
En conséquence la commutativité est en contradiction avec les axiomes de groupes puisque l'ensemble des groupes (l'ensemble des "entités" satisfaisant aux axiomes en question) n'ont pas tous cette propriété de commutativité).
Je dois dire que, après cette discution, les choses se sont plutôt obscurcies pour moi...

Tu noteras que dans le langage avec lequel s'exprime la théorie des groupes, on ne peut pas exprimer la proposition "tous les groupes sont commutatifs".

[Médiat]

Ben, justement non, je ne suis pas d'accord, la proposition suivante:
"tous les groupes sont commutatifs" est en contradiction avec les axiomes de groupes car, tout en satisfaisant ces axiomes, je peux trouver un groupe non commutatif.

Je n'ai jamais écrit que tous les groupes étaient commutatifs.

Donc pour moi cette proposition n'est pas vraie car en contradiction avec les axiomes de groupes qui justement autorisent des groupes non commutatifs...?

Mais comme la théorie des groupes autorise des groupes commutatifs, il est impossible de dire que la commutativité est contradictoire avec la théorie des groupes

En conséquence la commutativité est en contradiction avec les axiomes de groupes puisque l'ensemble des groupes ](l'ensemble des "entités" satisfaisant aux axiomes en question) n'ont pas tous cette propriété de commutativité).

Non, la commutativité n'est pas contradictoire avec la théorie des groupes puisqu'il existe des groupes commutatifs (elle est indécidable).

Donc il semblerait que ta définition de "proposition vraie" est "proposition vraie dans tous les modèles de la théorie", c'est à dire le cas 2 que j'ai décrit dans le message #13
Or comme je le rappelais dans ce même message :
La logique du premier ordre étant complète et robuste (théorème de Gödel) il y a identité entre "p est vraie dans tous les modèles de la théorie" et "p est démontrable dans cette théorie". Il est donc impossible, dans ce contexte de trouver des propositions vraies et non démontrables : c'est le théorème le plus important de Gödel.

[FAN FAN]

Je n'ai jamais écrit que tous les groupes étaient commutatifs.

Mais comme la théorie des groupes autorise des groupes commutatifs, il est impossible de dire que la commutativité est contradictoire avec la théorie des groupes

Non, la commutativité n'est pas contradictoire avec la théorie des groupes puisqu'il existe des groupes commutatifs (elle est indécidable).

Donc il semblerait que ta définition de "proposition vraie" est "proposition vraie dans tous les modèles de la théorie", c'est à dire le cas 2 que j'ai décrit dans le message #13
Or comme je le rappelais dans ce même message :
La logique du premier ordre étant complète et robuste (théorème de Gödel) il y a identité entre "p est vraie dans tous les modèles de la théorie" et "p est démontrable dans cette théorie". Il est donc impossible, dans ce contexte de trouver des propositions vraies et non démontrables : c'est le théorème le plus important de Gödel.

Je vais étudier ça, merci pour tes réponses !

[thepasboss]

Bonjour,

Alors je voulais juste savoir, ce que tu veux dire Médiat c'est que la commutativité d'un groupe ne peut se démontrer avec la théorie des groupes seule ? Qu'elle est non démontrable dans le cadre de la théorie des groupes car elle nescessite de sortir du cadre ?

PS : Désolé d'avance si j'ai dit une énormité, mais c'est un peu dur dur tout ça quand même ^^'

[Médiat]

Alors je voulais juste savoir, ce que tu veux dire Médiat c'est que la commutativité d'un groupe ne peut se démontrer avec la théorie des groupes seule ?

La théorie des groupes se résume à un langage (un symbole d'opération) et ses axiomes (associativité, élément neutre et élément symétrique), ces axiomes ne permettent pas de démontrer la commutativité, ni la non commutativité d'ailleurs (la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes).

Qu'elle est non démontrable dans le cadre de la théorie des groupes car elle nescessite de sortir du cadre ?

En tout état de cause, il faut quelque chose en plus, par exemple savoir que le groupe possède 3 éléments, ou savoir que l'on travaille sur les entiers relatifs avec l'addition etc.

PS : Désolé d'avance si j'ai dit une énormité, mais c'est un peu dur dur tout ça quand même ^^'

Aucune raison d'être désolé quand on pose une question, même quand c'est une énormité, ce qui n'est pas le cas ici .