Convergence d'une série

antaro · 31/10/2008 - 16h54

Salut je veux comprendre la solution de cette exercices!

Etudier la convergence de la série Un=SIGMA((-1)^[racine(n)]/n )
n>=1
[racine(n)] est la partie entière de racine(n)

citron_21 · 31/10/2008 - 17h03

Salut,
c'est une série alternée, utilise donc le Critère Spécial des séries alternées :
- décroissance de la valeur absolue du terme général
- limite du terme général = 0

antaro · 31/10/2008 - 17h07

Oui mais je ne sais pas comment faire :s
comment je vais faire pour la partie entière

Le lyceen59155 · 31/10/2008 - 17h11

Ce n'est pas une serie alternée.

citron_21 · 31/10/2008 - 17h15

pour la décroissance de la valeur absolue, elle est évidente.
pour la limite, une croissance comparée pourrait t'aider... sachant que [racine(n)] croit moins vite que n, la limite parait évidente. Si tu en n'est pas convaincu, étudie la fonction f(x)=[racine(n)]/n

De toute facon, la partie entière est inutile lorsque l'on étudie le comportement de racine(n) en l'infini.
On peut dire que [racine(n)]~racine(n) (en l'infini)

citron_21 · 31/10/2008 - 17h16

Envoyé par Le lyceen59155

Ce n'est pas une serie alternée.

oui, toutes mes excuses, ce n'est pas une série alternée...
Mon post précédent est alors inutile.

citron_21 · 31/10/2008 - 17h19

essaie alors d'étudier l'absolue convergence. En étudiant la convergence de la série de terme général : valeur absolue de (-1)^..., tu retombe alors sur une série à termes positifs.
Donc, tu peux essayer avec la règle de D'Alembert

russi · 05/10/2012 - 16h10

Déjà lorsqu'on parle de la convergence absolue il faut qu'on prévoit dés le début la convergence or dans ce cas on ne pourra rien conclure.D'ailleurs j'ai le mm problème j'arrive pas à étudier sa convergence!

0577 · 05/10/2012 - 17h25

Bonjour,

vous pouvez commencer par estimer la contribution provenant de termes consecutivement de meme signe.

russi · 05/10/2012 - 17h38

bon moi j'ai pensé autrement on a [racine de n]<racine de n < 2*racine de n et puisque (-1)<1 donc (-1)^(racine de n )> (-1)^(2 racine de n) d'où l'étude de la série de terme général 1/n qui est divergente d'après Rieman ! Donc notre série est divergente ! nn ? Merci

!

russi · 05/10/2012 - 19h22

nn nn c'est illogique !! :s !

Chanur · 06/10/2012 - 04h15

Bonjour,
J'ai calculé pour voir :
serie.jpeg
La première courbe montre les 100000 premiers termes, la deuxième les 5000 premiers.
On voit clairement que ça converge, et de quelle façon :
La série forme des triangles de plus en plus larges et de moins en moins haut.
Il ne reste plus qu'à le démontrer ... (mais c'est plus facile quand on a une idée du mécanisme ...

)

breukin · 06/10/2012 - 14h40

Soit $p_N$ l'unique entier tel que $p_N^2 \le N < (p_N+1)^2-1$
Alors :
$\sum_{n=1}^N \frac{(-1)^{E(\sqrt{n})}}{n} = \sum_{k=1}^{p_N-1} (-1)^{k} \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1} \frac{1}{n} + (-1)^{p_N} \sum_{n=p_N^2}^{N} \frac{1}{n}$

(Il ne s'agit que du regroupement des termes par paquets de plus en plus longs, de 1 à 3, puis de 4 à 8, puis de 9 à 15, etc.)

On peut alors faire une évaluation suffisamment fine de (en comparant avec une intégrale) :
$S_k = \sum_{n=k^2}^{(k+1)^2-1} \frac{1}{n}$
pour voir que cette suite positive est décroissante et tend vers 0, donc qu'on se retrouve avec une suite alternée.

russi · 07/10/2012 - 18h23

bonjour!
Merci infiniment (surtout la représentation ça m'a vraiment éclaircie le problème) mais le truc de l'unique entier constitue pour moi l'abstrait :/ , je n'arrive pas à l'assimiler :s !