Un déterminant nul

[damboy]

Bonsoir,

J'aurai aimé connaître les différentes interprétations d'un déterminant 3x3 = 0 ?

Plus précisément, que peut-on conclure sur un déterminant nul lorsque les triplets considérés sont des coordonnées de points de l'espace ou bien des vecteurs directeurs de droites, de plans, normaux aux plans,...

Merci.

[pat7111]

Le determinant est nul ssi un des vecteurs est combinaison lineaire des deux autres. Deux vecteurs non colineaires definissant un plan, une interpreatation geometrique de det=0 c'est que le troisieme vecteur est dans le meme plan.

[damboy]

Bonjour,

Merci.

Si j'ai bien compris, si on a des triplets de points alors ils sont alignés et si ce sont par exemple des vecteurs directeurs de droites alors elles sont parallèles, c'est bien ça ?

[NicoEnac]

si on a des triplets de points alors ils sont alignés

Non prends par exemple e1=(1;0;0) e2=(0;1;0)et e3=(1;1;0). On a tout de suite que e3 = e1 + e2 (donc l'un est bien combinaison linéaire des autres) et cependant les points ne sont pas alignés. Par contre e1, e2, e3 et O (origine) sont coplanaires.

Cependant, si on les considère comme des vecteurs, mis 2 par 2, ils définissent à chaque fois le même plan.

[damboy]

Ok merci !

[erymanthe]

Mais alors outre l'interprétation géométrique, on a :
en système linéaire : le fait que (toujours pour une matrice 3x3) un système de trois équations à trois inconnues soit résolvable (cf Leibniz)
pour les matrices : le fait que la matrice ne soit pas inversible.... pourquoi ??
De même je ne vois pas pourquoi si 0 est valeur propre d'une matrice (id est que le noyau est non vide), la matrice n'est pas inversible...
Merci d'avance

[lapin savant]

Salut,

en système linéaire : le fait que (toujours pour une matrice 3x3) un système de trois équations à trois inconnues soit résolvable (cf Leibniz)

Je dirais plutôt que le système a une solution unique (Cramer)...
(un tel système ayant un déterminant nul peut avoir une droite ou même un plan comme solution).

pour les matrices : le fait que la matrice ne soit pas inversible.... pourquoi ??

Si matrice est inversible, alors telle que :


On utilise une propriété du déterminant pour montrer qu'alors :

soit :

Qui est vérifiée ssi le déterminant de M est non nul.

De même je ne vois pas pourquoi si 0 est valeur propre d'une matrice (id est que le noyau est non vide), la matrice n'est pas inversible...

Le déterminant étant égal au produit des valeurs propres de la matrice, il est clair que si 0 est val.p. d'une matrice, le déterminant de celle-ci est nul, et elle n'est donc pas inversible.

[jobherzt]

Pour le det : si det d'une matrice nxn est nul, alors elle a une ligne qui s'ecrit comme combinaison lineaire des autres. Donc la dimension de l'image est strictement inferieur a n (dit autrement : le rang est strictement inferieur a n) donc le noyau n'est pas trivial.

Ce qui nous ramene a ta 2e question :

- reponse simple : dire qu'une matrice est inversible, c'est equivalent a dire que l'endomorphisme associé est inversible, cad bijectif. or, si le noyau n'est pas trivial, l'endomorphisme associé n'est pas injectif, donc pas bijectif.

- de maniere plus intuitive, si le noyau n'est pas trivial, ca veut dire qu'il ya plein de vecteurs differents qui sont tous envoyés sur 0. Donc tu "perds de l'information". Tu ne peux pas, a partr de 0, revenir en arriere et retrouver ces vecteurs. C'est comme multiplier un reel a par 0, tu obtiens toujours 0, donc tu as "oublié" quel etait le reel a, tu n'as pas une operation qui te permet de le retrouver.