[ Matsh ] Equivalents, suites

[ZimbAbwé]

Bonsoir à tous !

Alors, je dois montrer que e^u_n - e^v_n ~ u_n - v_n en sachant que lim u_n = lim v_n = 0

En fait, j'ai trouvé que e^u_n - e^v_n ~ e^v_n * ( u_n - v_n )

Ai-je le droit de dire que e^v_n tend vers 1 par compo de limite et donc que l'on a bien au final e^u_n - e^v_n ~ u_n - v_n ?

Merci d'avance !

ZimbAbwé.

[God's Breath]

Oui, je ne vois aucune raison qui empêcherait d'utiliser la composition de limites.

[ZimbAbwé]

J'ai une autre petite question sur les suites :

Si on considère la suite définie par u₀> 0 et u_n+1 = e^-u_n / n , comment montrer que lim u_n = 0 ?

Je pensais montrer que u_n > 0 par une récurrence simple pour pouvoir comparer u_n+1 / u_n.

Et alors, si on trouve que u_n est décroissante, on peut la majorer par son 1er terme, u₀ qui est positif. D'où :

0 < u_n < u₀ < 0 et donc par le théorème du sandwich lim u_n = 0

Le raisonnement vous semble t-il bon ?

Merci !

[God's Breath]

Je pensais montrer que u_n > 0 par une récurrence simple

C'est une très bonne idée.

Mais ensuite, c'est qui doit retenir ton attention.

[Thorin]

on aurait certes , mais absolument pas le droit de conclure que tend vers 0, il faudrait pour cela que
Le théorème du "sandwich" s'applique quand on encadre par des suites de mêmes limite, pas par des réels différents.

[ZimbAbwé]

Mais ensuite, c'est qui doit retenir ton attention.

Si on a donc u_n > 0 , - u_n < 0 et donc e ^{- u_n} < e⁰ et donc e ^{- u_n} / n < 1/n

Et là on peut appliquer le théorème des gendarmes. Mais je ne suis pas sûr que j'aie le droit de composer avec l'exponentielle juste avant.

PS : Désolé Thorin, pour mon encadrement j'avais pris u₀ < 0 alors que j'avais écrit juste avant que u₀ > 0

[Thorin]

tu peux composer sans problème par une fonction croissante sur tout l'intervalle considéré.

[God's Breath]

Mais je ne suis pas sûr que j'aie le droit de composer avec l'exponentielle juste avant.

Mais si, tu as le droit. Tu as un problème psychologique avec l'exponentielle ?

[ZimbAbwé]

Mais si, tu as le droit. Tu as un problème psychologique avec l'exponentielle ?

Nan, c'est juste que notre prof de l'année dernière nous répétait tellement souvent de vérifier le domaine de dérivation, la croissance et toutes les autres conditions dans les inégalités pour pouvoir composer, mettre à la puissance, etc... que je suis perturbé maintenant. Je trouvais ça trop facile comme ça, je pensais que je voyais pas le piège.

Enfin bref, merci beaucoup de votre aide.

Ah oui et si je puis me permettre encore une chose : quelles sont les méthodes pour démontrer qu'une suite est divergente ? Je connais la méthode avec la minoration ou la négligeabilité mais c'est pour les séries : ça marche aussi pour les suites ?

Merci !

[Thorin]

on peut montrer qu'elle est croissante non majorée, la minorer par une autre suite, montrer qu'elle est croissante et qu'aucun réel ne se dévoue pour être sa limite, parfois utiliser un DL je pense, doit yavoir 36000 moyens...

[God's Breath]

doit yavoir 36000 moyens...

et même un peu plus sans doute...

[ZimbAbwé]

on peut montrer qu'elle est croissante non majorée, la minorer par une autre suite, montrer qu'elle est croissante et qu'aucun réel ne se dévoue pour être sa limite, parfois utiliser un DL je pense, doit yavoir 36000 moyens...

Ok. Si DL c'est développement limité, inconnu aux bataillons pour l'instant. Et sinon oui les 3 autres ce sont celles que j'ai essayé sur ma suite.