produit semi direct interne

[anouar437]

G est produit semi direct interne de deux ss-gpes N et H ssi :
- N distingué dans H
- klksoi s dans G il existe un unique couple (n,h) dans NxH tel que s=nh


on sait d'après cette définition que après avoir trouver N et H l'ecriture de chaque élément de G comme nh et unique ( i.e on ne peut pas trouver n' et h' tel que s=n'h')
ma question c'est la suivante:
est ce que le choix de N et H est Unique ???
et pourquoi??

merci d'avance

[rhomuald]

Non en général on a pas unicité du choix de N et H. Par exemple pour , tu as une infinité de choix de couples de sous-espaces vectoriels supplémentaires.

[anouar437]

merci
si j'ai bien compris le choix de N et H n'est pas unique mais après avoir determiner ou bien choisir N et H l'ecriture et unique voila

[rhomuald]

oui c'est bien ça.

[anouar437]

merci encore fois
normalement dans la définition on doit dire que N est distingué dans G et non pas dans H n'est ce pas ???

[rhomuald]

oui effectivement il y a une coquille.

[anouar437]

dsl j'ai pas compris comment c'est une coquille??
bon je crois son équivalent N distingué das H <==> N distingué dans G n'est ce pas ??
sous la condition G=NH

[rhomuald]

Par définition pour qu'un groupe A soit distingué dans un groupe B, il faut que A soit un sous-groupe de B.

Ici N n'est pas forcément un sous-groupe de H (N n'est en général pas inclus dans H).

La condition c'est N doit être un sous-groupe distingué dans G.

[anouar437]

oui vous avez raison faut pa dire que N est distingué dans H, je reformule ce ke jé di :
pr montrer que N est distingué dans G il suffit de verifie que hnh' est dans N pr les élément de H au lieu de prendre gng' pr g dans G
mnt ça va ??

[rhomuald]

si cette condition que tu as donnée

- klksoi s dans G il existe un unique couple (n,h) dans NxH tel que s=nh

est vérifiée, oui c'est suffisant, sinon c'est faux en général.

[anouar437]

donc çava lorsk
- klksoi s dans G il existe un unique couple (n,h) dans NxH tel que s=nh

mais pr parler de produit semi direct on a tjr cette condition verifie

[rhomuald]

oui, je précisais juste car je ne savais pas de quels hypothèses tu partais.