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développement en série de Laurent

  1. christophe_de_Berlin

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Localisation
    berlin
    Messages
    902

    développement en série de Laurent

    Rebonjour, décidément, l´analyse complexe est vraiment complexe. J´ai de nouveau un exo d´annales, il me semble avoir trouvé une méthode adaptée, mais j´aimerais m´en assurer, et surtout, j´aimerais savoir si c´est la méthode la plus directe car elle me semble lourde et je me demande si elle est adaptée à une situation d´examen, vu le temps restreint. Alors voilà:

    Soit f la fonction méromorphe définie par:



    Donner le développement en série de Laurent de f dans 3 domaines:
    C1 = {z ; module(z) < 2}
    C2 = {z ; 2 < module(z) < 5}
    C3 = {z ; 5 < module(z)}

    Après décomposition de f j´obtient:



    Jusqu´à maintenant je ne me suis intéressé qu´à C1. Pas la peine de continuer si ma méthode est foireuse.

    C1 peut être considéré comme une couronne de centre 0, f étant alors holomorphe dans C1. Pour tout z de C1 on a alors:



    an est défini par:



    T étant un cercle centré en 0, qui doit impérativement inclure 5 et 2. Je prend donc le cercle de centre 0 et de rayon 6.

    Il s´agit maintenant de calculer les deux intégrales explicitées dans an. J´utilise alors la formule d´intégrale de Cauchy en établissant la fonction holomorphe gn(x) = x-(n+1).

    D´après la formule de Cauchy on a:


    Ceci me permet alors de calculer an et après simplifications, j´obtient:



    Si quelqu´un peut me dire si je suis à côté de la plaque ou sur le bon chemin...

    Merci d´avance

    Christophe

    -----

     


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  2. invite43219988

    Date d'inscription
    juin 2004
    Messages
    0

    Re : développement en série de Laurent

    Bonjour, je ne suis plus très sur mais ne peux-tu pas écrire :

    et puisque , on a que . Tu peux donc exprimer ta fraction par une somme infinie () et la même chose fonctionne pour la deuxième fraction de ta décomposition en éléments simples.
    Reste à rassembler les deux sommes pour déterminer les coefficients, ce qui n'est pas bien difficile...

    Mes souvenirs sont vieux donc je ne garantis rien !

    P.S. : y'a surement une erreur de signe mais j'ai pas le temps là ! Bonne chance !
     

  3. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 334

    Re : développement en série de Laurent

    Tu dois savoir que pour .

    Tu écris et tu développes en série la forme qui convient suivant que ou .

    Tu fais de même avec .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     

  4. christophe_de_Berlin

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Localisation
    berlin
    Messages
    902

    Re : développement en série de Laurent

    Ça veut dire que ma méthode est foireuse? Je vais voir ça, merci
     

  5. God's Breath

    Date d'inscription
    décembre 2007
    Messages
    9 334

    Re : développement en série de Laurent

    Ta méthode n'est pas foireuse, elle utilise des outils qui ne sont pas vraiment pratiques à mettre en oeuvre dans ton cas partculier : un développement en série géométrique est bien plus rapide que le calcul des intégrales de la formule de Cauchy.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
     


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  6. Essaidi

    Date d'inscription
    janvier 2017
    Âge
    20
    Messages
    1

    Re : développement en série de Laurent

    Quelq'un Me l'aide J'ai pas Compris , J'ai besoin d'une solution s'il vous Plait

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