lim ((( ln x )^3)/x) en + l 'infini ?

[Flyingsquirrel]

Salut à tous

Je cherche une piste afin de demontrer , je n'ai pas trouvé dans mon cours de maths (je suis en terminale S) des éléments pour m'aider et la seule piste qui me semble exploitable est la comparaison puisque pour x > 1, , il ne reste plus qu'à majorer cette fonction mais comment ? Voila, si quelqu'un a une idée....

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[hedron]

Essaye

[moijdikssékool]

il ne reste plus qu'à majorer cette fonction mais comment

qui dit majorer, dit aussi étude de fonction. Tu peux toujours étudier la fonction lnx3/x

autant que tu retiennes le résultat: (lnx)^a, c'est peanuts par rapport à x^b (a et b positifs bien sûr) en l'inifini. tout comme x^b avec e^ax

pour les différentes valeurs de a et b, positifs, négatifs, en x = 0 ou l'infini ces comparaisons doivent être connues sur le bout des doigts

[invite787e8665]

la fonction ln l'emporte sur la focntion x donc il me semble que la limite est + l'infini

[A voir en vidéo sur Futura]

[matthias]

C'est l'inverse et donc la fonction tend bien vers 0.

[g_h]

Salut à tous

Je cherche une piste afin de demontrer

Tu peux poser X = ln x
lim X quand x -> +inf = +inf

donc lim (ln x)³/x en +inf = lim X³/e^X en +inf

La fonction exponentielle l'emporte sur tout polynôme de X (c'est dans ton cours normalement), donc la limite vaut 0, et donc la limite que l'on cherche vaut aussi 0.

Sinon, pour utiliser le théorême concernant le logarithme, tu remarques que :
X³/e^X = e^{3ln(X) - X}
ce qui te permet de calculer la limites de 3ln(X) - X et donc de l'exponentielle, et donc celle de ta fonction de départ.

Pour les autres : en terminale, pour pouvoir utiliser ces théorême de "machin l'emporte sur chose", je crois bien qu'il faut toujours se rapporter à des cas simples: exponentielle ou logarithme sans puissance, et aucune fonction composée.

[invite787e8665]

C'est l'inverse et donc la fonction tend bien vers 0.

excate

désolé pour la confusion

[Flyingsquirrel]

Salut

Merci à tous pour vos réponses, je suis d'ailleurs assez embêté de pas les avoir trouvées seul étant donné que les notions que vous utilisez ne sont pas particulièrement compliquées ... (notamment pur l'utilisation des exponentielles.)

g_h a dit:"Pour les autres : en terminale, pour pouvoir utiliser ces théorême de "machin l'emporte sur chose", je crois bien qu'il faut toujours se rapporter à des cas simples: exponentielle ou logarithme sans puissance, et aucune fonction composée."
Effectivement, les seules limites connues qui se rapprochent de cette fonction sont de la forme avec a un nombre positif, on a rien concernant les limites des fonctions avec des puissances de logarithmes, c'est pour ça que la limite me posait problème.

+

[matthias]

Effectivement, les seules limites connues qui se rapprochent de cette fonction sont de la forme avec a un nombre positif, on a rien concernant les limites des fonctions avec des puissances de logarithmes, c'est pour ça que la limite me posait problème.

Bizarrement foutus les programmes non ?
C'est pas la mer à boire de traiter tous les (ln(x))^a/x^b en cours et c'est plutôt pratique.
Pareil pour les exponentielles bien sûr.

[g_h]

Ouais, mais bon ça a un intêret aussi, ça montre qu'on a compris (ça serait trop simple : on énonce le théorême sans rien chercher, on regarde la limite sur la calculette et on recopie bêtement).
Ça nous apprend aussi à faire des changements de variables.

[matthias]

D'accord. Mais tu peux l'intégrer dans un cours en le faisant traiter comme exercice, c'est pas un problème. Seulement là, tu es obligé de faire un changement de variable à chaque fois que tu rencontres ce cas. Et franchement ça arrive souvent.