convergence integrales impropres

Popo037 · 17/12/2008 - 19h38

Bonsoir,

j'ai un exercice à faire
1)Je dois montrer la convergence de trois integrales

a)int de 0 a oo (lnx/(1+x²))dx

b)int de 0 à oo (lnx/(a² + x²))dx

c)int de 0 à oo (lnx/((1+x²)²))dx

j'ai reussi a montrer la convergence de la premiere mais pas des deux autres

pour le a) j'ai mis la fonction f(x)=lnx/(1+x²) est continue donc localement riemann integrale sur ]0,oo[
on a un pb de convergence ou une singularite en 0 et +oo
en 0,[SQRT]x[/SQRT]((lnx/(1+x²)) tend vers 0, d'où [ABS]lnx/(1+x²)[/ABS]= o(1/[ABS]x[/ABS]) et ainsi, par comparaison, int de 0 à 1 (lnx/(1+x²))dx converge absolument donc converge

en +oo, x^3/2[ABS](lnx/(1+x²))[/ABS] tend vers 0, d'ou [ABS]lnx/(1+x²)[/ABS]=o(1/x^3/2) et ainsi, par comparaison int de 1 à + oo (lnx/(1+x²))dx converge absolument donc converge

ce qui montre que l'integrale de depart converge

est-ce juste ?

2)montrer que int de 1 à +oo (lnx/(1+x²)dx
= - int de 0 à 1 (lnx/1+x²)dx

je pense qu'il faut utiliser la propriete d'additivite mais pour arriver au resultat demande apres je vois etant que la derniere question est de deduire grace a la 2) la valeur des 3 integrales

ABS valeur absolue
SQRT racine
merci d'avance pour votre aide

God's Breath · 17/12/2008 - 21h02

Je n'arrive pas vraiment à lire ce que tu as voulu écrire, mais le principe est le bon pour 1a. Le même genre de choses fonctionne également pour 1b et 1c.

Pour 2, tu pourrais envisager le changement de variable $t = \frac1x$ .

Popo037 · 17/12/2008 - 22h23

je vois vraiment comment faire pour celle la :
integrale ((ln x)/(a² + x²))dx
de 0 à + infini

pour la question 2, je vais essayer avec le changement de variable que tuas proposé par contre je ne vois pas comment ensuite à l'aide du resultat du 2°), je pourrai en deduire la valeur des integrales du 1)

Merci pour ton aide

Popo037 · 17/12/2008 - 22h49

Je n'arrive pas au résultat demandé à l'aide du changement de variables que tu m'a proposé

MMu · 18/12/2008 - 00h20

$x=|a|t;\ \ \int _0^{\infty}\frac{ln(x)}{a^2+x^ 2}dx = \frac 1{|a|}\int _0^{\infty}\frac{ln(|a|t)}{1+t ^2}dt= \frac 1{|a|}\int _0^{\infty}\frac{ln(|a|)}{1+t^ 2}dt+\frac 1{|a|}\int _0^{\infty}\frac{ln(t)}{1+t^2} dt$ ...

God's Breath · 18/12/2008 - 07h22

Envoyé par Popo037

je vois vraiment comment faire pour celle la :
integrale ((ln x)/(a² + x²))dx
de 0 à + infini

La 1a) est le cas particulier $a=1$ du 1b), et moi, je ne vois pas du tout où tu te sers de cette valeur particulière de a dans ta résolution du 1a) !!!

$\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{1+x^2} \,dx = \int_1^0 \frac{\ln\frac1t}{1+ $ \frac1t $^2} \, $ -\frac{dt}{t^2} $ = \ldots$

breukin · 18/12/2008 - 11h30

Eh oui, relis ta propre démonstration de convergence en l'infini pour le 1a) et tu verras qu'elle fonctionne pour le 1b).
En effet, il suffit de trouver une majoration absolue dont l'intégrale est convergente, par exemple en remarquant que log x < x^1/2 pour x assez grand.