théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov

rhomuald · 16/01/2009 - 23h11

Bonsoir,

dans la démonstration de ce théorème donnée dans le Brezis dans l'étape b),
afin d'affirmer que $\mathcal{H}$ est équicontinue, j'ai l'impression que l'auteur utilise cette inégalité que j'ai du mal à établir:

$\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x_1,x_2\in \mathbb{R}^N,\qquad |x_1-x_2|. ||\rho_n||_{\textrm{Lip}}\leq ||\rho_n||_{L^{\infty}}$

$(\rho_n)_n$ étant une suite régularisante de $\mathbb{R}^N$ , et $||\rho_n||_{\textrm{Lip}}=\sup _{z_1\neq z_2} \frac{|\rho_n(z_1)-\rho_n(z_2)|}{|z_1-z_2|}$ .

Merci pour toute indication.

rhomuald · 17/01/2009 - 00h09

ah vraiment désolé, je viens de retrouver un exo de l'an d'avant où on montrait que $||.||_{\infty}\leq ||.||_{\textrm{Lip}}$ , et la continuité de $\rho_n$ entraîne que $||.||_{\infty}= ||.||_{L^{\infty}}$ .

rhomuald · 17/01/2009 - 00h21

bon en fait non c'était pas du tout le même exo

rhomuald · 17/01/2009 - 00h53

Bon finalement je pense avoir trouvé, enfin une majoration un peu plus faible mais c'est pas grave. J'obtiens cette relation:

$\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x_1,x_2\in \mathbb{R}^N,\qquad |x_1-x_2|. ||\rho_n||_{\textrm{Lip}}\leq 2||\rho_n||_{L^{\infty}}$

Pour le cas non trivial où $x_1\neq x_2$ on a

$||\rho||_{\textrm{Lip}} = \sup_{z_1\neq z_2} \frac{|\rho_n(z_1)-\rho_n(z_2)|}{|z_1-z_2|} \leq \frac{\sup_{z_1\neq z_2} |\rho_n(z_1)-\rho_n(z_2)|}{\inf_{z_1\neq z_2} |z_1-z_2|}\leq \frac{2||\rho_n||_{L^{\infty}} }{|x_1-x_2|}$ ,

d'où l'inégalité.

rhomuald · 17/01/2009 - 01h01

J'ai une dernière question concernant cette démo. $\omega$ est un ouvert relativement compact de $\mathbb{R}^N$ .
Pourquoi une partie relativement compacte de $C(\overline{\omega})$ est aussi relativement compacte dans $L^p(\omega)$ ?

invite43219988 · 17/01/2009 - 11h10

Bonjour,
pour la première inégalité, je ne pense pas que l'auteur utilise
$|x_1-x_2|.||\rho_n||_{Lip}\leq ||\rho_n||_{L^{\infty}}$ mais simplement $||\rho_n||_{Lip}\leq||\rho_n|| _{L^{\infty}}$ .
On a
$|(\rho_n \ast \overline{f})(x_1)-(\rho_n \ast \overline{f})(x_2)|=|\int_{ \mathbb{R}^N }(\rho_n(x_1 -y)-\rho_n(x_2 -y))\overline{f}(y)dy|\leq \sup_{y\in \mathbb{R}^N}|\rho_n(x_1-y)-\rho_n(x_2-y)|\int_{\mathbb{R}^n}| \overline{f} (y)|dy=A$ .

Or si on pose $z_1=x_1-y$ et $z_2=x_2-y$ , on a
$\sup_y |\rho_n(x_1-y)-\rho_n(x_2-y)|=|x_1 -x_2|\sup_y \frac{|\rho_n(x_1-y)-\rho_n(x_2-y)|}{|(x_1-y) - (x_2-y)|}=|x_1 -x_2|\sup_{z_1 \neq z_2}\frac{|\rho_n(z_1)-\rho_n(z_2)|}{|z_1-z_2|}$ (l(égalité précédente est peut-être une inégalité en fait j'ai pas suffisamment réfléchi).
Donc $A=|x_1-x_2|.||\rho_n||_{Lip}|| \overline{f} ||_{L^1}\leq |x_1-x_2|.||\rho_n||_{L^{\infty}}|| \overline{f}||_{L^1}\leq C_n|x_1 - x_2 |$ .

Cela dit je ne vois pas dans l'immédiat pourquoi on aurait $||\rho_n||_{Lip}\leq ||\rho_n||_{L^{\infty} }$ donc je dis peut-être des bêtises

.

Pour ta dernière question, c'est sans doute dû à la densité de $C(\overline{w} )$ dans $L^p(w)$ .

God's Breath · 17/01/2009 - 12h14

Envoyé par rhomuald

$\forall n\in \mathbb{N},\ \forall x_1,x_2\in \mathbb{R}^N,\qquad |x_1-x_2|. ||\rho_n||_{\textrm{Lip}}\leq ||\rho_n||_{L^{\infty}}$

Cette assertion est manifestement fausse : pour tout réel $M>0$ , il existe $x_1$ et $x_2$ dans $\mathbb{R}^N$ avec $|x_1-x_2| = M$ , et l'on aurait $||\rho_n||_{\textrm{Lip}}\leq \frac{||\rho_n||_{L^{\infty}}} {M}$ .
En faisant tendre $M$ vers l'infini, il vient $||\rho_n||_{\textrm{Lip}}= 0$ !!!

rhomuald · 17/01/2009 - 13h05

ah ok gb, et du coup même le rafistolage que j'ai fait à 00h53 c'est n'importe quoi, vu que je divise par l'infini (j'aurais du aller me coucher

).
Je vais creuser l'idée de Ganash, vu comme c'était balancé, je pensais que c'était quasiment direct.

Pour l'autre question je me doutais que la densité y serait pour quelque chose mais je rencontre ces problèmes:

les fonctions de $L^p(\omega)$ sont définies sur $\omega$ tandis que celles de $C(\overline{\omega})$ sont définies sur $\overline{\omega}$ ,
je suis d'accord avec le fait que $C(\omega)$ soit dense dans $L^p(\omega)$ , mais je ne vois même pas pourquoi $C(\overline{\omega})$ est inclus dans $L^p(\omega)$ ?

God's Breath · 17/01/2009 - 13h44

Bonjour rhomuald,

Je ne dispose pas du Brezis, et j'interprète peut-être mal ton problème.

Dans la forme classique du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov, $\omega$ est un ouvert borné, donc $\overline{\omega}$ est compact, et on a $C(\overline{\omega}) \subset L^p(\overline{\omega}) \subset L^p(\omega)$ .

rhomuald · 17/01/2009 - 14h19

ah oui merci gb, c'est tout bête j'avais pas tilté

,
et une partie relativement compacte de $C(\overline{\omega})$ reste relativement compacte dans $L^p(\omega)$ ,
parce que ces trois espaces sont complets + histoire de précompacité et de topo induite, pas besoin d'hypothèse de densité.

Envoyé par Ganash

Donc $A=|x_1-x_2|.||\rho_n||_{Lip}|| \overline{f} ||_{L^1}\leq |x_1-x_2|.||\rho_n||_{L^{\infty}}|| \overline{f}||_{L^1}$ .

comment arrives-tu à cette inégalité? Du raisonnement que tu fais juste avant je ne vois pas comment on tombe dessus.

Je vais essayer de mieux cibler mon problème afin de le rendre indépendant des notations du brezis et pas retaper tout l'énoncé,
je vous remercie d'avoir bien voulu vous pencher sur mon problème.

rhomuald · 17/01/2009 - 14h43

je viens de comprendre, tu avais admis que $||\rho_n||_{Lip}\leq||\rho_n|| _{L^{\infty}}$ .

rhomuald · 18/01/2009 - 13h38

Je reprends au sujet de cette inégalité mystérieuse.

l'énoncé du théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov:

Soit $\Omega\subset \mathbb{R}^N$ un ouvert et soit $\omega$ un ouvert relativement compact tel que $\overline{\omega}\subset \Omega$ . Soit $\mathcal{F}$ un sous-ensemble borné de $L^p(\Omega)$ avec $1\leq p < \infty$ .
On suppose que $\mathcal{F}$ vérifie une hypothèse d'équicontinuité intégrale:

$\fbox{\forall \varepsilon>0,\qquad \exists \delta>0,\qquad \delta<\textrm{dist} (\omega, \Omega ^c) \mbox{ tel que } \\<br /> ||\tau_ff-f||_{L^p(\omega)}<\varepsilon \qquad \forall f\in \mathbb{R}^N \mbox{ avec } |h|<\delta \mbox{ et } \forall f \in \mathcal{F}}$ .

Alors $\mathcal{F}_{|\omega}$ est relativement compact dans $L^p(\omega)$ .

au niveau de la preuve:

On suppose que $\Omega$ est borné. Pour $f \in \mathcal{F}$ on pose $\overline{f}(x)=\{f(x) \mbox{ si } x\in \Omega\\ 0 \mbox{ si } x\in \mathbb{R}^N\setminus \Omega$ .

On note $\overline{\mathcal{F}} = \{\overline{f}:\ f\in \mathcal{F}\}$ de sorte que $\overline{\mathcal{F}}$ est borné dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ et $L^1(\mathbb{R}^N)$ .

On prend une suite régularisante $(\rho_n)$ de $\mathbb{R}^N$ .

a) à l'aide de l'hypothèse d'équicontinuité intégrale on établit cette relation:

$||\rho_n\ast \overline{f} - \overline{f}||_{L^p(\omega)} < \varepsilon,\qquad \forall \overline{f}\in \overline{\mathcal{F}}\qquad \mbox{ et } \forall n > \frac{1}{\delta}$ .

b) $\mathcal{H}_n=(\rho_n \ast \overline{\mathcal{F}})_{| \overline{\omega}}$ vérifie pour chaque $n$ le théorème d'Ascoli. Pour le justifier l'auteur dit qu'on a d'abord

$||\rho_n\ast \overline{f}||_{L^\infty( \mathbb{R}^N)}\leq ||\rho_n||_{L^\infty}|| \overline{f} ||_{L^1} \leq C_n \qquad \forall \overline{f}\in \overline{\mathcal{F}}$ . (là je suppose qu'il définit $C_n$ par cette relation).

D'autre part, on a $\forall x_1,x_2\in \mathbb{R}^N,\ \forall \overline{f}\in \overline{\mathcal{F}}$

$|(\rho_n \ast \overline{f})(x_1)-(\rho_n \ast \overline{f})(x_2)|\leq |x_1-x_2|.||\rho_n||_{\textrm{Lip}} .||\overline{f}||_{L^1} \leq C_n |x_1-x_2|$
(c'est cette dernière inégalité que je ne comprends pas

, à cause de cette apparition de $||.||_{\textrm{Lip}}$ )

Il en résulte que $\mathcal{H}_n$ est relativement compact dans $C(\overline{\omega})$ et à fortiori dans $L^p(\omega)$ .

c) il conclut la démo.

God's Breath · 18/01/2009 - 14h10

Le plus simplement du monde :

$\left| (\rho_n \ast \bar f)(x_1) - (\rho_n \ast \bar f)(x_2) \right| = \left| \int_{\mathbb{R}^N} \Big( \rho_n(x_1-t) - \rho_n(x_2-t) \Big) \bar f(t) \,dt \right| \le \int_{\mathbb{R}^N} \left| \rho_n(x_1-t) - \rho_n(x_2-t) \right| . \left| \bar f(t) \right| \,dt$

Or $\left| \rho_n(x_1-t) - \rho_n(x_2-t) \right| \le \left| (x_2 - t) - (x_1-t) \right| . \parallel \rho_n \parallel_{\mathrm{Lip}} = \left| x_2 - x_1 \right| . \parallel \rho_n \parallel_{\mathrm{Lip}}$ , donc

$\left| (\rho_n \ast \bar f)(x_1) - (\rho_n \ast \bar f)(x_2) \right| \le \left| x_2 - x_1 \right| . \parallel \rho_n \parallel_{\mathrm{Lip}} \int_{\mathbb{R}^N} \left| \bar f(t) \right| \,dt = \left| x_2 - x_1 \right| . \parallel \rho_n \parallel_{\mathrm{Lip}} . \parallel \bar f \parallel_{L^1}$

rhomuald · 18/01/2009 - 14h21

Bonjour gb,

cette inégalité ne me posait pas de souci, c'était plutôt celle où il y a du $C_n$ .

God's Breath · 18/01/2009 - 14h59

Je viens de comprendre ton problème.

Envoyé par rhomuald

$\overline{\mathcal{F}}$ est borné dans $L^p(\mathbb{R}^N)$ et $L^1(\mathbb{R}^N)$ .

Il existe donc $M$ tel que $\parallel \bar f \parallel_{L^1} \le M$ pour tout $\bar f \in\overline{\mathcal{F}}$

Envoyé par rhomuald

$||\rho_n\ast \overline{f}||_{L^\infty( \mathbb{R}^N)}\leq ||\rho_n||_{L^\infty}|| \overline{f} ||_{L^1} \leq C_n \qquad \forall \overline{f}\in \overline{\mathcal{F}}$ . (là je suppose qu'il définit $C_n$ par cette relation).

Tu supposes bien : Brezis définit $C_n = M ||\rho_n||_{L^\infty}$ , qui ne dépend pas de $\bar f$ , et prouve ainsi que $\mathcal{H}_n$ est bornée dans $C(\overline\omega)$ .

La constante $C_n$ viens de remplir son contrat, Brezis n'en a plus besoin, et il libère (mais sans le dire explicitement) l'appellation $C_n$ , qu'il pourra réutiliser en cas de besoin.

Envoyé par rhomuald

[CENTER] $|(\rho_n \ast \overline{f})(x_1)-(\rho_n \ast \overline{f})(x_2)|\leq |x_1-x_2|.||\rho_n||_{\textrm{Lip}} .||\overline{f}||_{L^1} \leq C_n |x_1-x_2|$

Brezis définit ici une nouvelle constante : $C_n = M ||\rho_n||_{\textrm{Lip}}$ (toujours indépendante de $\bar f$ ), ce qui permet de prouver que $\mathcal{H}_n$ est équicontinue, et de conclure par le théorème d'Ascoli.

Je te l'accorde, la réutilisation immédiate du nom $C_n$ pour cette deuxième constante n'est peut-être pas un choix judicieux de la part de Brezis, et il eût été préférable de la noter $C'_n$ .

Note bien que cette deuxième constante $C_n$ ne servira plus à rien, que, à partir de maintenant, on oublie qu'elle a existé, et on pourra donc renommer $C_n$ une troisième constante par la suite...