pi et Euclide

[ilelogique]

Bonjoir,
Il me semble qu'un espace Euclidien peut-être modélisé par un plan, plat, mais que toute déformation topologiquement respectable (du genre mettre des bosses et des creux sans rejoindre les bouts, ni trouer, ni rien) n'entache pas la propriété respectable de l'espace Euclidien. Mais alors, si on y fait un cercle (au sens d'un ensemble de points équidistants d'un même point, avec une distance, une métrique, clairement définie) : le rapport (au sens de la division du sus-nommé Euclide) entre le diamètre (défini naturellement par le plus court chemin pouvant relier deux points de ce cercle en passant par son centre) vaut-il encore pi ?
Finalement, ma question revient à demander si pi est ou non une réelle constante de l'Univers ?
Les extra-terrestres ont-ils le même pi, même si leurs plans (Et encore je les entends Euclidiens !) ne sont pas plats de la même façon que les notres le sont ?
Pi n'est-il qu'un cas particulier du plan Euclidien plat ? (Et d'ailleurs cette platitude est-elle définissable ?)
Merci.

[invité576543]

Bonjoir,

Bonsour,

Il me semble qu'un espace Euclidien peut-être modélisé par un plan plat

Un espace euclidien est déjà un modèle, il ne se modélise "pas plus". Espace euclidien implique espace plat, par définition.

mais que toute déformation topologiquement respectable (du genre mettre des bosses et des creux sans rejoindre les bouts, ni trouer, ni rien) n'entache pas la propriété respectable de l'espace Euclidien.

Il y a deux notions à bien distinguer : la topologie, et la métrique.

Bosses et creux ne changent pas la topologie. Reste à voir ce qu'on entend par "bosses et creux" en relation avec la métrique. Sans plus de précision, on aurait tendance à comprendre que "bosses et creux" sont bien des changements de la métrique. Auquel cas l'espace n'est plus euclidien.

Parce que euclidien est une propriété de la métrique, pas une propriété de l'espace topologique sans métrique.

Mais alors, si on y fait un cercle (au sens d'un ensemble de points équidistants d'un même point, avec une distance, une métrique, clairement définie) : le rapport (au sens de la division du sus-nommé Euclide) entre le diamètre (défini naturellement par le plus court chemin pouvant relier deux points de ce cercle en passant par son centre) vaut-il encore pi ?

Métrique euclidienne implique rapport périmètre sur rayon égal 2pi.

Finalement, ma question revient à demander si pi est ou non une réelle constante de l'Univers ?

On passe violemment des mathématiques à la physique.

Pi est un nombre, défini mathématiquement, et est universel.

Si on parle de "réelle constant de l'Univers", on parle manifestement d'autre chose. Comme le rapport entre périmètre et rayon de cercles, qui n'est même pas une constante en mathématique, puisque cela dépend de la métrique.

Les extra-terrestres ont-ils le même pi

S'ils ont la notion mathématique de pi, ils ont la même que nous.

Pi est défini mathématiquement bien autrement que comme la moitié du rapport périmètre/diamètre!

Quand à la notion (mathématique) d'espace euclidien, elle est tout aussi mathématique, et tombe naturellement comme cas (très) particulier de métrique.

Cordialement,

[ilelogique]

Je suis désolé mais alors je ne comprends pas la définition d'un espace Euclidien, celle-ci englobe -t-elle la notion de "plat" et si oui comment ?
Pour moi un Espace Euclidien est un modèle des axiomes d'Euclide, et je ne vois pas en quoi ça doit forcément être plat. Le définissez-vous par le produit scalaire ? et si oui, comment et en quoi cela change-t-il ?
Pour ce qui est de Pi et des extras-terrestres : c'est une conséquence du reste : si pi (car ce nombre existe dans l'univers, on peut le décrire de façon universelle, dans toutes les bases etc.) n'est que le rapport de la circonférence par le diamètre d'un cercle mais dans une situation très précise, celle du plat, alors je me dis que cette platitude pouvant n'être pas la même ailleurs dans l'Univers...Pi ne serait qu'une constante Humaine et terrestre....et il me décevrait beaucoup...

[invité576543]

Je suis désolé mais alors je ne comprends pas la définition d'un espace Euclidien, celle-ci englobe -t-elle la notion de "plat" et si oui comment ?

Espace euclidien = espace muni d'une métrique euclidienne. Plat = courbure nulle, et la métrique euclidienne donne une courbure nulle.

Pour moi un Espace Euclidien est un modèle des axiomes d'Euclide, et je ne vois pas en quoi ça doit forcément être plat.

Le cinquième axiome d'Euclide implique "plat". Les géométries non plates divergent sur cet axiome.

Le définissez-vous par le produit scalaire ? et si oui, comment et en quoi cela change-t-il ?

La courbure se définit de diverses manières, dont par exemple la somme des angles d'un triangle (ce qui est déterminé par la métrique ou par les axiomes, selon le point de départ).

Un théorème dit que la somme des angles d'un triangle est pi + l'intégrale de la courbure à l'intérieur du triangle.

Le cinquième axiome d'Euclide impose que la somme des angles de tout triangle vaut pi, donc que la courbure est nulle partout dans un espace dans lequel les notions de droite et de mesure d'angle respectent les axiomes d'Euclide.

Pour ce qui est de Pi et des extras-terrestres : c'est une conséquence du reste : si pi (car ce nombre existe dans l'univers, on peut le décrire de façon universelle, dans toutes les bases etc.) n'est que le rapport de la circonférence par le diamètre d'un cercle mais dans une situation très précise, celle du plat

Oui

, alors je me dis que cette platitude pouvant n'être pas la même ailleurs dans l'Univers...

...la courbure pouvant n'être pas la même ailleurs dans l'Univers...

Pi ne serait qu'une constante Humaine et terrestre...

...Pi ne serait le rapport périmètre sur diamètre que dans l'environnement humain et terrestre...

(D'ailleurs il ne l'est pas. Suffit de tracer un cercle de rayon 1000 km sur la surface terrestre et de mesurer sont périmètre pour vérifier que le rapport périmètre sur diamètre n'est pas pi. L'espace euclidien n'est qu'une représentation mentale fausse de notre environnement, clairement pour la surface de la Terre -nos ancêtres ont longtemps pensé la Terre comme plate- que pour l'espace 3D autour de nous -même si c'est difficilement mesurable...)

.et il me décevrait beaucoup...

Je ne comprends pas la notion de déception dans ce cadre.

Cordialement,

[ilelogique]

Oui, pour la déception c'est évident, une forme de drolerie.
Je sais bien que la surface de la Terre n'est justement pas Euclidienne.
Mais donc vous dites que la métrique demande que la somme des angles fasse pi (celle des espaces Euclidiens), une métrique n'est-elle pas une distance ?

[invité576543]

une métrique n'est-elle pas une distance ?

Métrique pour moi inclut aussi la mesure des angles.

Cela a une relation avec le produit scalaire, mais sur l'espace tangent. (Dans le cas euclidien on ne fait pas la différence entre espace et espace tangent, mais la distinction est nécessaire dans les autres cas.)

Cela me semble plus général de parler de métrique que de distance ou de produit scalaire, mais cela couvre ces idées là aussi.

Cordialement,