Valeurs propres matrice

Valkjora · 18/01/2009 - 08h56

Bonjour, je sais calculer les valeurs propres d'une matrice, mais dans certaines conditions, c'est super long et je trouve même pas la bonne réponse... Ma prof a mit dans son livre une méthode, mais je ne la comprends pas... je vous mets ce qu'elle a mit et s'iou plait, aidez moiii ! (les () servent à bien séparer les chiffres...)

(5) (3) (3)
(24) (11) (12)
(-30) (-15) (-16)

Question en cours de route, pour faire apparaitre des 0, il faut le faire maintenant ou après avoir fait apparaitre les -Y*I ?
Apparemment la somme de chaque colonne donne -1.. Ca donne :

(5-Y ) ( 3 ) (3)
(24) ( 11-Y) (12)
(-1-Y) (-1-Y ) (-1-Y)

Là, je bloque... Enfin pourquoi elle a prit la troisième ligne ?
Ensuite :

______ __ (5-Y) ( 3) (3)
-(Y+1) * (24) (11-Y) (12)
______ __ (1) (1) (1)

Comment les 1 apparaissent ? C'est pire que les hiéroglyphes parfois les maths...

Ensuite je comprends la fin, elle fait appaitre des 0 dans la ligne d'en dessous en supprimant par colonne et elle fait le calcul en prenant en compte la troisième ligne et elle a la réponse... Moi j'ai essayé 2 méthodes, j'y arrive pas... Merci de votre aide !

Jeanpaul · 18/01/2009 - 09h36

Elle a ajouté les lignes 1 et 2 à la ligne 3 et, coup de chance, ça donne le même résultat sur toutes les colonnes.

God's Breath · 18/01/2009 - 10h19

Bonjour,

Pour calculer les valeurs propres d'une matrice $A$ , une méthode est de calculer le polynôme caractéristique, puisqu'elles en sont les racines.

Le calcul porte donc sur $\det(A-YI)$ , et c'est sur ce déterminant que l'on va utiliser des manipulations de rangées pour faire apparaître des 0.

Dans ton exemple, il faut calculer $\det(A-YI) = \begin{vmatrix} 5-Y & 3 & 3 \\ 24 & 11-Y & 12 \\ -30 & -15 & -16-Y \end{vmatrix}$ .

On additionne les lignes 1 et 2 à la ligne 3 : $\det(A-YI) = \begin{vmatrix} 5-Y & 3 & 3 \\ 24 & 11-Y & 12 \\ -Y-1 & -Y-1 & -Y-1 \end{vmatrix}$ .

L'opération suivante consiste à mettre $-Y-1 = -(Y+1)$ en facteur dans la dernière ligne : $\det(A-YI) = -(Y+1)\begin{vmatrix} 5-Y & 3 & 3 \\ 24 & 11-Y & 12 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$ .

Ensuite, on soustrait la colonne 3 aux colonnes 1 et 2 : $\det(A-YI) = -(Y+1) \begin{vmatrix} 2-Y & 0 & 3 \\ 12 & -1-Y & -12 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$ .

Enfin on développe par rapport à la ligne 3 : $\det(A-YI) = -(Y+1) \begin{vmatrix} 2-Y & 0 \\ 12 & -1-Y \end{vmatrix} = -(Y+1)(2-Y)(-1-Y) = (Y+1)^2(2-Y)$ .