Continuité de f(x) = x²

[Quinto]

C'est possible, à condition que tu changes de topologie. Dans ce cas, en effet ca peut être vrai. Mais si tout est "normal", cette fonction est bien continue partout, mais par contre n'est pas uniformément continue sur R tout entier.
En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Pour en revenir à la continuité de x->x^2:
En topologie, on peut se donner une collection de sous ensembles d'un ensemble X vérifiant certains axiomes. C'est ce qu'on appelle une topologie T.
Dans R^n, tu peux montrer qu'une fonction f de X vers Y vérifie que
f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X
si et seulement si f est continue (idem avec les fermés)
Si on en revient à notre espace topologique, on ne peut plus définir la continuité par des limites ou des epsilon et des lambda, puisque la seule chose que l'on connait sur notre espace topologique, est "quels sont les ouverts, et fermés"
Avec la remarque ci-dessus, on va définir la continuité de la même façon.
Notamment, si je prend R muni de la topologie discrete, Y=(R,Tdiscrete) et que je prend R munie de la topologie usuelle (la topologie engendrée par la valeur absolue) X=(R,Tusuelle)
Alors dans ce cas, ta fonction x^2 n'est pas continue, et c'est même très facile à montrer.

En fait je t'ai donné cet exemple, pour te montrer que c'est possible. Cependant, je doute qu'on voit ca en première année, même en Belgique....

[GuYem]

C'est possible, à condition que tu changes de topologie. Dans ce cas, en effet ca peut être vrai. Mais si tout est "normal", cette fonction est bien continue partout, mais par contre n'est pas uniformément continue sur R tout entier.
En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Pour en revenir à la continuité de x->x^2:
En topologie, on peut se donner une collection de sous ensembles d'un ensemble X vérifiant certains axiomes. C'est ce qu'on appelle une topologie T.
Dans R^n, tu peux montrer qu'une fonction f de X vers Y vérifie que
f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X
si et seulement si f est continue (idem avec les fermés)
Si on en revient à notre espace topologique, on ne peut plus définir la continuité par des limites ou des epsilon et des lambda, puisque la seule chose que l'on connait sur notre espace topologique, est "quels sont les ouverts, et fermés"
Avec la remarque ci-dessus, on va définir la continuité de la même façon.
Notamment, si je prend R muni de la topologie discrete, Y=(R,Tdiscrete) et que je prend R munie de la topologie usuelle (la topologie engendrée par la valeur absolue) X=(R,Tusuelle)
Alors dans ce cas, ta fonction x^2 n'est pas continue, et c'est même très facile à montrer.

En fait je t'ai donné cet exemple, pour te montrer que c'est possible. Cependant, je doute qu'on voit ca en première année, même en Belgique....

Bien dit Quinto. Quand on dit "continue", il faut préciser pour quelles topologie.
Même si le plus souvent on prend pour topologie sur R la topologie usuelle engendrées par les intervalles (ouverts par exemple).

[Bleyblue]

Ca n'est pas simple simple à comprendre en effet ... mais merci bien

[C.B.]

En fait, uniforme continuité et continuité sont exactement équivalentes sur des ensembles que l'on appelle des compacts.
Dans R, un compact est simplement un ensemble du type [a,b], ou l'union finie de ce genre d'ensembles.

Ce n'est pas tout à fait exact, dans R un compact est un ensemble fermé borné, et il y a des compact beaucoup plus complexes que des unions finies d'intervalles [a b].
Par exemple l'enemble est compact et poutant il est infini dénombrable, donc pas de la forme union finie de [a,b].

[Quinto]

Tu as raison, je n'ai jamais vu ca ainsi...

[moijdikssékool]

les compacts de |R sont les fermés bornés
ton {1/n}U{O} est-il fermé? seule une réunion finie de fermés est automatiquement un fermé
le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

[martini_bird]

les compacts de |R sont les fermés bornés
ton {1/n}U{O} est-il fermé? seule une réunion finie de fermés est automatiquement un fermé
le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

C.B. a raison, les compacts sont parfois plus traîtres qu'on l'imagine!

Pour répondre à ta question: comme, sur IR, un ensemble est fermé s'il contient les limites de ses suites, on voit clairement que {1/n, n>0}U{0} est fermé.

Pire! L'ensemble triadique de Cantor est fermé borné: c'est un compact!

[matthias]

C'est bien un fermé. Il est facile de montrer que cet ensemble et son adhérence sont identiques.

[Quinto]

le complémentaire de cet ensemble ne me paraît pas evidemment ouvert...

En fait, le complémentaire, est, sauf erreur
R- union ]1,+oo[ union ]1/(n+1),1/n[, donc une union dénombrable d'ouverts... Donc c'est un ouvert, et l'ensemble annoncé est bien un fermé.

Mais comme il a été dit:
Soit u(n) une suite dans {1/n}U{0}
Elle est soit stationnaire, soit non stationnaire.
Si elle est stationnaire, aucun problème.
Sinon si elle converge c'est forcément vers 0.
Donc cet ensemble est bien fermé.

A+

[B3nJ4m1n]

Je vois pas pourquoi on se pose tant de question sachant que on sait tous que x->x² est parfaitement continue alors pourquoi se poser 28 questions en plus lol

[Quinto]

Parce que comme on vient de le dire, ca dépend de la topologie...

[matthias]

Au fait Quinto, tu peux expliquer plus précisément ce qu'est la topologie discrète dont tu as parlé ?

[Quinto]

Salut,
oui en fait, ce que j'appelle la topologie discrète est la topologie ou tout ensemble est ouvert (donc fermé).

Ainsi, il est clair que toute fonction de X dans Y munie de la topologie discrète pour les 2, est continue.
Sauf erreur
a+

[matthias]

Je ne suis pas sûr de comprendre. Tu veux dire qu'on peut créer une topologie en choisissant soi-même les ouverts et les fermés ? Si oui, quelles conditions doivent-ils vérifier ? Seulement le complémentaire d'un ouvert est un fermé et réciproquement ?
Et que devient la notion de voisinage ?
Et comment tu définis la continuité ?

Pour moi, f est continue en a, <=> pour tout V voisinage de f(a), f^-1(V) est un voisinage relatif de a

[Quinto]

Salut, c'est ca.
Notamment, une topologie T sur X est une collection de parties de P(X) vérifiant:
-Vide et X sont dans T.
-l'union d'ensemble O de T est un ensemble de T.
-L'intersection finie d'ensembles O de T, est un élément de T.

Je pense n'avoir rien oubliés.
Les ensembles O de T sont dit ouverts, leur complémentaires sont les fermés.
On définie la continuité comme tu l'as fait au point a, et de manière plus générale, sur X par f^(-1)(ouvert de Y)=ouvert de X, pour f de X vers Y.
On peut montrer que si f est continue en tout a de X alors c'est équivalent à dire que f est continue sur X.