petit casse tête fonction ln

[Claudinne]

Bonjour,

je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
que
ln u < u
pour u>0 biensur!!

J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx

en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
soit 1/2 lnx = 1/2 .(2lnracx)
Ssi 1/2 lnx=lnracx

mais pour après je n'y arrive pas!! Je sais que l(on peut démontre ln u< u grace à ln u-u <0
je l'ai fait mais il faut utiliser que la propriété que l'on nous soumet...donc ???
je continue çà chercher mais si
quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie

[zoup1]

Il faut sans doute aussi utiliser le fait que ln(e)=1

en effet la propriété ln(ab)=ln(a)+ln((b) est valable pour toutes les bases de logarithme alors que ln(u)<u n'est pas valable pour toutes les bases...

[evariste_galois]

Petite aide:
exprime -u à l'aide de la fonction ln , autrement dit trouve un A tel que -u=ln(A) (en espérant que tu ai déjà étudié la fonction exponentielle , je peux pas être plus clair!).

Alors tu auras une expression de la forme ln(u)+ln(A)=ln(u*A) et puisque tu sais que ln(u*A) est strictement négatif si, et seulement si, 0<u*A<1 , la conclusion sera alors aisée!

[Claudinne]

si j'ai compris A= e^(-u)


or u>0 donc -u<0 et e^(-u) <1 mais >0

et u>0 donc u > ue^(-u) >0 la je suis d'ac mais le 1 ça vient d'où ?? sinon je trouve que la technique est pas mal...j'ai peur que le fait d'utilisé l'exponentielle comme fonction réciproque soit intérdit... mais il me reste de toute façon à prouvé que ln(ue^(-u)) est négatif autrment dit de prouver que 0<ue^(-u) <1 le 1 je ne vois pas....merci bcp!!

[chouket]

coucou,
pourquoi faire simple,quand on peut faire compliquer
bon alors comme j'arrive pas à voir où evariste_galois veut en venir, je peux te donner une autre démonstration (c'est une propriété du cours) qui consiste à prouver que sauf que c'est strictement inférieur et que je n'arrive pas à me servir du latex...
On s'est servi de cette propriété pour trouver la limite en + de donc si tu veux la démo c'est avec plaisir, mais je pense qu'il y a beaucoup plus simple...
chouket.

[matthias]

Si vous voulez faire simple, étudiez les variations de f(x) = Ln(x) - x, trouvez son maximum, et c'est fini.

[chouket]

Si vous voulez faire simple, étudiez les variations de f(x) = Ln(x) - x, trouvez son maximum, et c'est fini.

c'est ce qu'on a fait en cours avec racine (cf post 5)

[matthias]

Bon, évidemment, en faisant ça, on n'utilise pas vraiment la propriété ...

[Romain-des-Bois]

Bonjour,

je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
que
ln u < u
pour u>0 biensur!!

J'ai pu démontrer auparavant que lnracx = 1/2 lnx

en effet on a x>0 x=(racx)², d'où lnx= ln racx+lnracx
soit 1/2 lnx = 1/2 .(2lnracx)
Ssi 1/2 lnx=lnracx

mais pour après je n'y arrive pas!! Je sais que l(on peut démontre ln u< u grace à ln u-u <0
je l'ai fait mais il faut utiliser que la propriété que l'on nous soumet...donc ???
je continue çà chercher mais si
quelquu'un a un tuyaux....., je vous en remercie d'avance Marie

c'est mon sujet de bac blanc ... !!!!!!!!!

[Claudinne]

a ba nos profs ont les mêmes sources!!! Moi c'est un dM!!
*Mais je crois avoir trouver la solution avec l'aide evariste galois!! En effet j'ai simplement étudier ue^-u

car lnu - u = lnu + ln(e^-u) = ln (ue^-u)
or je peux démontrere à l'aide d'une étude fonction que ue^-u appartient à ]0;1[ donc ln(ue^-u) <0
Voila, le tour est joué!!

...Meric à tous pour vos réponse

[matthias]

ben oui, pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ?
Au lieu d'étudier directement Ln(u) - u (archi facile), on passe par les exponentielles ...(aussi archi facile, mais à mon avis totalement inutile).
Tout ça pour dire qu'on a utilisé la propriété ...

[C.B.]

Bonjour,

je veux démontrer à l'aide de la proprièté lnab=lna+lnb
que
ln u < u
pour u>0 biensur!!

Il faut sans doute aussi utiliser le fait que ln(e)=1

en effet la propriété ln(ab)=ln(a)+ln((b) est valable pour toutes les bases de logarithme alors que ln(u)<u n'est pas valable pour toutes les bases...

Il faut aussi utiliser la continuité du log, car il existe des fonctions non continues vérifiants f(ab)=f(a)+f(b) et f(e)=1 qui ne vérifient pas f(u)<u pour tout u.

Il suffit de prendre une fonction h de R dans R qui est linéaire sur R en tant que Q espace vectoriel et bijective mais qui n'est pas continue pour la topologie usuelle de R. on définit g= exp o h et f l'inverse de g. f vérifie alors f(a+b)=f(a)+f(b).
On peut imposer que h(1)=1 et que pour un certain a irrationnel h(a)=ln(a), alors on a g(a)=a donc f(a)=a et on a pas f(a)<a.

Pour définir ainsi h on fixe une Q base B de R qui contient 1.
On prend une sous famille dénombrable de B qui ne contient pas 1.
On choisit a dans B privé des et de 1
et on pose :
h(1)=1
h(a)=a
h()=n * .

Tout ça pour dire qu'on a utilisé la propriété ...

Je suis d'accord, ce n'est pas très utile en fait, surtout que l'on utilise pas d'hypothèses plus faibles que celle qu'on utiliserait pour étudier ln(u)-u.