Fonction de Cantor-Lebesgue

neurone en panne · 22/02/2009 - 17h57

Bonjour,

Quelqu'un saurait-il montrer, à partir de la définition, que la fonction de Cantor-Lebesgue (dont le graphe est l'escalier du diable, ou escalier de Cantor) n'est pas absolument continue ?

God's Breath · 22/02/2009 - 18h18

A l'étape n° $n$ de la construction de l'ensemble de Cantor, on a un compact $K_n$ constitué de $2^n$ intervalles $[a_k,b_k]$ ( $1 \le k \le 2^n$ ) de longueur $\frac{1}{3^n}$ , avec $a_1 = 0$ et $b_{2^n} = 1$

Les intervalles $[a_k,b_k]$ sont d'intérieurs disjoints et $\sum_{k=1}{2^n} (b_k-a_k) = $ \frac23 $^n$ : pour tout $\eta > 0$ , il existe donc un entier $n$ tel que $\sum_{k=1}{2^n} (b_k-a_k) < \eta$ .

Mais, par définition de la fonction de Cantor-Lebesgue, que je note $f$ , on a, pour tout $k<2^n$ , $f(b_k) = f(a_{k+1})$ , donc
$\sum_{k=1}^{2^n} \big( f(b_k) - f(a_k) \big) = f(b_{2^n}) - f(a_1) = f(1) - f(0) = 1$
ce qui prouve que $f$ n'est pas absolument continue.

Fonction de Cantor-Lebesgue

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