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Sarrus pour une matrice 4*4??

  1. Lighter

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    91

    Sarrus pour une matrice 4*4??

    Bonjour à tous!

    J'ai eu un test de mathématiques ce matin au cours duquel il fallait calculer un déterminant d'une matrice 4*4 (pour trouver des valeurs propres). J'ai utilisé personnellement la méthode des cofacteurs mais j'ai été fort surpris d'apprendre qu'un ami avait (inconsciemment) fait Sarrus et était arrivé à la bonne réponse. Comment expliquer cela sachant que la matrice était symétrique (et comportait bcp de zéros)??
    Cette coïncidence m'intéresse, merci de votre aide

    -----

     


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  2. Ksilver

    Date d'inscription
    novembre 2005
    Âge
    29
    Messages
    1 888

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    Salut !

    cette coincidence est à priori juste une coincidence. on pourait peut-etre en dire plus en ayant la matrice en question sous les yeux. mais à priori il y a rien d'autre à en dire.

    le déterminant d'une matrice 4*4 c'est une somme de 4!=24 termes (indéxé par S4) si tu applique Sarrus tu somme sur seulement 8 de ces terme... donc soit c'est une coincidence, soit c'est parceque les 16 autres termes sont nul ou ce compense entre eux...
     

  3. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    33
    Messages
    10 610

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    Notons que si tu as une matrice diagonale ou triangulaire (tu avais dit qu'il y avait beaucoup de 0, alors peut-être), le calcul est plus facile.

    Il faudrait que tu nous montres cette matrice.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  4. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    33
    Messages
    10 610

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    Notons aussi que, avec la méthode du pivot de Gauss, il est facile de passer de transformer une matrice en une autre sans changer le déterminant, donc de créer deux matrices (qui ne se ressemblent pas) qui ont le même déterminant.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  5. Lighter

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    91

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    Merci de vos réponses. J'ai retrouvé la matrice:

    2 0 -1 0
    0 a-5 0 0
    -1 0 2 0
    0 0 0 4

    où a est réel.
     


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  6. shokin

    Date d'inscription
    mars 2004
    Localisation
    Suisse
    Âge
    33
    Messages
    10 610

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    Citation Envoyé par Lighter Voir le message
    Merci de vos réponses. J'ai retrouvé la matrice:

    2 0 -1 0
    0 a-5 0 0
    -1 0 2 0
    0 0 0 4

    où a est réel.
    Évidemment... s'il existe un nombre Aij dans une matrice tel que tous les nombres Ai- OU tous les nombres A-j sont nuls... en l'occurrence, le nombre 4. Le fait qu'elle soit symétrique n'a pas d'influence sur la validité de la règle de Sarrus.

    Cela s'explique simplement par l'application de la formule de Laplace (celle que tu as utilisée), où tu prends la ligne ou la colonne avec que des nombres nuls (sauf Aij éventuellement ; notons que si Aij est aussi nul (si tu avais 0 à la place de 4), le déterminant est nul). Tu n'as plus qu'à utiliser le 4 est le déterminant d'une matrice 3*3. Appliquer alors la règle de Sarrus dans une telle matrice, c'est comme appliquer la règle de Sarrus à la matrice 3*3, puis multiplier le déterminant de cette matrice 3*3 par Aij (4 en l'occurrence).

    A y voir plus loin, cela reste aussi valable pour des matrices n*n, à condition qu'il existe au moins une ligne ou une colonne de taille p*p (p allant de 4 à n) qui ait au plus un nombre non nul.

    Exemples :

    Règle de Sarrus applicable :

    3 4 5 0 0
    2 1 7 0 0
    6 8 9 0 0
    5 6 4 3 0
    2 3 5 6 2

    Dans la cinquième colonne, seul le 2 est non nul.

    Dans la matrice 4*4 qui correspond à ce 2 :

    3 4 5 0
    2 1 7 0
    6 8 9 0
    5 6 4 3

    La colonne 4 a au plus un seul nombre non nul, le 3.

    Donc, en fait, pour calculer le déterminant de cette matrice, il suffit de calculer le déterminant de la matrice

    3 4 5
    2 1 7
    6 8 9

    par Sarrus, puis de multiplier ce déterminant par 3 (ce qui donnera le déterminant de la matrice 4*4), puis par 2, ce qui donnera le déterminant de la matrice 5*5.



    PS : selon où sont situées les lignes et colonnes avec au plus un nombre non nul, il faut juste faire attention au signe.



    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.
     

  7. Lighter

    Date d'inscription
    octobre 2005
    Messages
    91

    Re : Sarrus pour une matrice 4*4??

    J'ai pigé! Merci pour ta réponse très détaillée en tout cas!
     


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