La plus petite sphère contenant quatre points

[invitec7cca85f]

Bonjour à tous,
voici mon soucis :

Je cherche le centre et le rayon d'une sphere qui va englober au plus juste 4 points de coordonnées x,y et z.
Il faut utiliser l'équation du cercle bien sûr,

(xi-a)²+(yi-b)²+(zi-c)²=r²

avec r=rayon sphere
a,b,c = coordonées sphere
xi, yi, zi = coordonnées des points i

mais ensuite ...?
merci de votre aide

matou

[zoup1]

Moi j'ai l'impression que si tu calcules la distance entre chacun des 4 points pris 2 à 2, la plus grande de ces distance devrait correspondre au diamètre de la sphère dont tu parles... (nb j'ai pas beaucoup réfléchi avant de répondre ca mais je pense que ca marche).

[shokin]

Si tu connais les coordonnées d'un point, tu connais a, b et c, il te reste 4 inconnues : xi, yi, zi, r.

Si tu as quatre points, tu as quatre équations et quatre inconnues...

Shokin

[yat]

Si tu connais les coordonnées d'un point, tu connais a, b et c, il te reste 4 inconnues : xi, yi, zi, r.
Si tu as quatre points, tu as quatre équations et quatre inconnues...

Je pense qu'au contraire, on connait xi, yi et zi pour i de 1 à 4, et qu'on cherche a, b, c et r... ok, c'est un détail. Mais résoudre le système d'équation ne répondra pas à la question posée, si je l'ai bien comprise. L'objectif est d'englober au plus juste les 4 points avec la sphère. Il s'agit donc d'un système de 4 inéquations, et on cherche à déterminer les valeurs a,b et c qui permettent de minimiser r tout en vérifiant le système.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Je pense qu'au contraire, on connait xi, yi et zi pour i de 1 à 4, et qu'on cherche a, b, c et r... ok, c'est un détail. Mais résoudre le système d'équation ne répondra pas à la question posée, si je l'ai bien comprise. L'objectif est d'englober au plus juste les 4 points avec la sphère. Il s'agit donc d'un système de 4 inéquations, et on cherche à déterminer les valeurs a,b et c qui permettent de minimiser r tout en vérifiant le système.

Oups, j'ai inversé...

Le rayons de la sphère qui possède sur sa surface 4 points, n'est-il pas le rayon de la sphère minimale qui englobe ces 4 points ? (analogie avec trois points non alignés et le cercle dans le plan)

Shokin

[zoup1]

Le rayons de la sphère qui possède sur sa surface 4 points, n'est-il pas le rayon de la sphère minimale qui englobe ces 4 points ? (analogie avec trois points non alignés et le cercle dans le plan)

Non, d'ailleurs dans le plan cela ne fonctionne pas non plus...

[shokin]

Comment ça ? ça ne marche pas dans le plan ? peux-tu m'expliquer ?

ou alors je n'ai pas compris ce qu'on cherchait.

Shokin

[yat]

Comment ça ? ça ne marche pas dans le plan ? peux-tu m'expliquer ?

ou alors je n'ai pas compris ce qu'on cherchait.

On cherche la plus petite sphère qui contienne les 4 points. Dans le plan, si on cherchait le plus petit cercle qui englobe trois points, chercher le cercle qui passe par les trois points ne serait pas non plus une bonne idée : imagine un triangle très aplati.

[shokin]

ah je n'avais pas pensé à un triangle ou à une pyramide super aplatie !

... heu comment faire... je réfléchis...

Shokin

[shokin]

Dans le plan, je remarque que s'il n'y pas trois angles aigus ABC, BCA ou CAB. Le diamètre est déterminé par la plus grande des distances (donc le rayons est cette demi-distance) entre AB, BC et CA.

Dès lors qu'il y a trois angles aigus... je penche pour le cercle circonscrit entre ces trois points.

En effet, pour le triangle rectangle (un angle droit, entre l'aigu et l'obtu), le cercle circonscrit est confondu avec le cercle de thalès du côté le plus grand entre AB, AC et BC.

Et pour savoir si ces angles sont aigus ou droit ou obtus (dans le plan toujours), je regarde le plus grand côté, que je nomme c. Si a^2+b^2=c^2, le triangle est rectangle, si a^2+b^2>c^2, le triangle a trois angles aigus, si a^2+b^2<c^2, le triangle a un angle obtu.

Pour mesurer les angles, on peut aussi utiliser d'autres formules avec les vecteurs...

Peut-on appliquer l'analogie dans l'espace ?

Shokin

[shokin]

Ou en gros, soient les 4 points A, B, C et D.

Soit CD la plus grande distance entre deux de ces quatre points.

si existent A ET B tels que AC^2+AD^2>CD^2 et BC^2+BD^2>CD^2, la sphère à considérer et celle circonscrite à ces 4 points pour en revenir à l'équation de la sphère.

si existent seulement A (ou seulement B) tel que AC^2+AD^2>CD^2, la sphère à considérer est celle contenant le cercle circonscrit à A(resp. B), C et D.

si n'existent ni A ni B tels que AC^2+AD^2>CD^2 ou BC^2+BD^2>CD^2, la sphère à considérer est celle qui est la sphère de Thalès du segment CD.

Shokin

[yat]

(xi-a)²+(yi-b)²+(zi-c)²=r²

A mon avis il faut remplacer le = par un <=. Sinon, ça ne marchera que dans le cas ou les quatre points sont sur la sphère, ce qui sera (en plus d'être un cas particulier) une solution non optimale dans bien des cas.

Pour la réponse de zoup1, un tétraèdre régulier permet de voir que ça ne correspond pas à une solution optimale. Mais je n'ai pour pas grand chose de mieux à proposer.

[zoup1]

Pour la réponse de zoup1, un tétraèdre régulier permet de voir que ça ne correspond pas à une solution optimale. Mais je n'ai pour pas grand chose de mieux à proposer.

Oui bien sur tu as raison... je savais bien que j'allais dire une connerie d'où le luxe de précaution dans ma première réponse...

[invite4793db90]

Salut,

je reformule ton problème: il s'agit de déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD.

Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.

Pour le cas général, il suffit de remarquer que le centre de la sphère circonscrite est l'intersection des plans médiateurs des côtés pour obtenir un système linéaire.

Cordialement.

[invite4793db90]

Oups, j'ai omis la mention "au plus juste".

Une idée pour me rattraper: isobarycentre des points = centre de la sphère cherchée?

[yat]

Une idée pour me rattraper: isobarycentre des points = centre de la sphère cherchée?

Non plus... il y a pas mal de cas ou la solution est celle proposée par zoup1 en première tentative... si dans des cas comme ceux-là, les deux autres points sont tous les deux du "même coté" de l'axe formé par les deux points les plus éloignés, on voit bien que l'isobarycentre n'est pas la solution, qui est tout simplement le milieu du segment.

[invite4793db90]

Non plus... il y a pas mal de cas ou la solution est celle proposée par zoup1 en première tentative... si dans des cas comme ceux-là, les deux autres points sont tous les deux du "même coté" de l'axe formé par les deux points les plus éloignés, on voit bien que l'isobarycentre n'est pas la solution, qui est tout simplement le milieu du segment.

Oui, tu as raison. Shame on me.
Et si l'on pondère par la somme des distances aux autres points?

[yat]

Et si l'on pondère par la somme des distances aux autres points?

Je vois pas trop ce que ça changerait. Dans l'exemple donné, si les deux points restants ne sont pas sur le "grand segment", ils vont tous les deux "peser" du même coté...

Dans pas mal de cas, la solution est le milieu d'un segment. Et ça reste la même solution pour tous les cas ou les deux autres points sont inclus dans la sphère trouvée. Du coup je pense que le problème est assez compliqué à mettre sous forme d'équations. Il va falloir isoler les différents cas possibles avant de faire le calcul. Dans le plan c'est jouable, la méthode de shokin me semble efficace. En 3D je ne vois pas.

[zoup1]

Salut,

je reformule ton problème: il s'agit de déterminer le centre et le rayon de la sphère circonscrite à un tétraèdre ABCD.

Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.

Pour le cas général, il suffit de remarquer que le centre de la sphère circonscrite est l'intersection des plans médiateurs des côtés pour obtenir un système linéaire.

Cordialement.

La je comprends plus, si la sphère circonscrit le tétraèdre alors les points du tétradèdre font partie de la sphère, alors on oublie tout ce que l'on a dit depuis le début et il s'agit bien d'une égalité, système de 4 équations à 4 inconnues.

Oups, j'ai omis la mention "au plus juste".

Mais alors je ne vois pas très bien ce que vient faire le au plus juste ici...

Pour un cas particulier, tu peux voir ici, exercice 2.

IL y a 2 exercices 2 dans ce lien... je suppose qu'il s'agit du premier... mais j'ai pas vu de figure du cercle en question... j'ai peut être lu un peu vite...


Alors la question c'est qui circonscrit (égalité) ou qui englobe (inégalité) ?

[invite4793db90]

zoup1, je me suis trompé: je suis parti dans l'idée d'une sphère circonscrite à un tétraèdre, ce qui, j'en conviens, ne répond en rien à la question de départ.

Sincèrement.

[zoup1]

zoup1, je me suis trompé: je suis parti dans l'idée d'une sphère circonscrite à un tétraèdre, ce qui, j'en conviens, ne répond en rien à la question de départ.

Sincèrement.

J'aurais bien aimé que ce soit Maton qui réponde à cette question, car on passe d'un problème simple (4 équations, 4 inconnues) à un problème compliqué...
En attendant on continue à réfléchir au problème initial alors...
On cherche la sphère de rayon le plus petit possible qui englobe un tétraèdre donné.