Système à 5 inconnues ...

[Bleyblue]

Bonjour,

Je suis de nouveau bloqué avec un gros système :







ou a,b,h,h1,h2 sont les inconnues et je doit exprimer h en fonction de de P. J'ai déja essayé avec des tas de substitutions mais après plus de 15 pages de calculs, je ne suis toujours nul part ...

Pourriez vous s'il vous plait juste me dire comment commencer ?

Merci

[invitea3eb043e]

Pas sorcier : tu calcules h²=288 + h1² + h2²= aussi à (h1 + h2)²
D'où on déduit le produit h1 h2.
Ensuite, comme on connaît la somme et le produit de h1 et h2, on peut les calculer (c'est dans tous les cours, ça) et ensuite, on déroule.

[invitec314d025]

Par contre tu as plusieurs solutions, à moins d'avoir des contraintes sur certaines variables.

[invitea3eb043e]

Pas sorcier : tu calcules h²=288 + h1² + h2²= aussi à (h1 + h2)²
D'où on déduit le produit h1 h2.
Ensuite, comme on connaît la somme et le produit de h1 et h2, on peut les calculer (c'est dans tous les cours, ça) et ensuite, on déroule.

On reprend : on voit assez vite que h1*h2=144, ensuite que h1 et h2 sont les racines de l'équation : x² - h x + 144=0
On en déduit a et b (aux signes et à un échange près) puis on en tire P en fonction de h. Faire l'inverse (h en fonction de P) est un peu plus lourd.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bleyblue]

Merci beaucoup à tous ! Je vais essayer

[Bleyblue]

Ouille ouille ouille

Je ne vois pas en fait à quoi h1h1 = 144 peut il bien me servir ?

On peut éliminer h avec l'équation 1, h1 car exprimé en fonction de h2 et h2 avec l'équation 3

Je ne comprend pas ce que ça veut dire ...

racines de l'équation : x² - h x + 144=0

Il y a des x qui apparaissent ?

Tu remarqueras que le P ne se trouve que dans la cinuquième équation. Donc tu t'occuperas de celle-ci en dernier.

Donc 4 équations à 4 inconnues.

Ah bon, P c'est une inconnue ? Moi je pensais que non.

Par contre tu as plusieurs solutions, à moins d'avoir des contraintes sur certaines variables.

Ouille ouille ouille, comment ça se fait ?

Ensuite, comme on connaît la somme et le produit de h1 et h2, on

Ah bon, on a la somme de h1 et h2 ? Je ne vois pas ou (désolé...)

C'est de la folie ! Je suis même pas capable de résoudre un système ... ça va être beau l'année prochaine en math. Je me demande si je ferais pas mieux d'aller me pendre moi ...

Je suis vraiment désolé de rien comprendre, quelle honte dites ...
Je vais essayer de refaire dans ma chambre mais ...

Merci bcp à tous !

[Bleyblue]

On remarque dans ce système que par substitution dans l'équation 1 de a², b² et h² par leurs expresssions en fonction de h1 et h2, on peut exprimer simplement h1 en fonction de h2.

On peut éliminer h avec l'équation 1, h1 car exprimé en fonction de h2 et h2 avec l'équation 3

C'est ça que tu veux dire ? :
h² = a² + b² = 144 + (h1)² + (h2)² et comme h² = (h1)² + (h2)² + 2h1h2 -> h1h2 = 144

et on remplace tout ça dans l'équation 1 ce qui donne :
(h1)² + (h2)² + 2h1h2 = 288 + (h1)² + (h2)²
h1h2 = 144
...

merci

[invitec314d025]

tu as h1h2 = 144 et h1 + h2 = h
donc h1 et h2 sont solutions de l'équation :

ce qui donne les deux valeurs :

et

[Bleyblue]

Mais je ne comprend pas du tout d'où sort cette équation en x ...

Merci

[invitec314d025]

Ah, je crois qu'on voit ça en première normalement.

si on a un système du genre:
u+v = S
u.v = P

alors u et v sont les deux solutions de x² -S.x + P = 0

ça se démontre très simplement.
u = S - v
(S - v).v = P d'où S.v - v² = P
ce qui donne bien v² - S.v + P = 0
pareil pour u.

[invite4793db90]

En développant ...

Si tu connais et , alors a et b sont les racines du polynôme x²-sx+p.

[EDIT] Croisement avec matthias.

[Bleyblue]

Et si je fait :




Voyez vous comment trouver une expression d'ab ?

EDIT : (Nous avons posté en même temps, je n'ai pas vu vos messages, je regarde ... )

merci

[Bleyblue]

Ah oui ok je me souvient, ça fait longtemps ... merci

[Bleyblue]

Ok, j'ai exprimé a et b en fonction de h uniquement et j'ai tout injecté dans la formule de P.
Il est impossible d'isoler h et moi j'en suis environ à ma 36 ième page de calcul (j'ai compté ) donc je vais laisse tomber je pense ...

merci beaucoup à tous

[invitee65b1c3d]

En regardant les équation, on peut se demander comment faire "disparaître" une inconnue (par substitution). Pour cela il faut l'exprimer en fonction des autres inconnues, de préférence en fonction du moins d'inconnues possibles.

Si tu n'arrive pas à résoudre un système, tu peux toujours essayer de trouver des équations qui en découlent (en ne raisonnant plus par équivalence, mais alors lorsqu'on trouvera un résultat il faudra s'assurer qu'il vérifie bien le système initial.


On remarque dans ce système que par substitution dans l'équation 1 de a², b² et h² par leurs expresssions en fonction de h1 et h2, on peut exprimer simplement h1 en fonction de h2.

On peut éliminer h avec l'équation 1, h1 car exprimé en fonction de h2 et h2 avec l'équation 3

On obtient alors une relation entre a et b

Les équation 1 et 5 permettent d'exprimer a en fonction de b ou b en fonction de a.

On a alors un système de deux équations deux inconnues.

[shokin]

Tu remarqueras que le P ne se trouve que dans la cinuquième équation. Donc tu t'occuperas de celle-ci en dernier.

Donc 4 équations à 4 inconnues.

ça ressemble à ton autre problème ?

y aurais-tu pas du Pythagore, des triplets pythagoriciens par là ?

Shokin

[shokin]

Ah ! non ! tu ne vas pas laisser tomber !

Si tu substitues a^2 et b^2 des deuxième et troisième équations vers la première, tu trouves :

h^2 = 288 + (h1)^2 + (h2)^2

Si tu élèves au carré la quatrième équation, tu trouves :

h^2 = (h1)^2 + 2(h1)(h2) + (h2)^2

De ces deux dernières équations, tu déduis que (h1)(h2)=144.



D'autre part :

de la quatrième équation, tu sais que h2 = h - h1

Soit alors le système :

h^2 = a^2 + b^2
a^2 = 144 + (h1)^2
b^2 = 144 + (144/h1)^2
h2 = h - h1
P = a + b + h

D'où h^2 = 288 + (h1)^2 + (144/h1)^2

h = racine carrée de (288 + (h1)^2 + (144/h1)^2)
h2 = h - h1 = racine carrée de (288 + (h1)^2 + (144/h1)^2) - h1
h1 = h1
a^2 = 144 + (h1)^2
b^2 = 144 + (144/h1)^2
ab = racine carrée de (a^2)(b^2), que tu peux exprimer en fonction également de h1.


P = a + b + h
P^2 = a^2 + b^2 + h^2 + 2ab +2ah +2bh

Dans cette dernière équation, tu exprimes a^2, b^2, h^2, ab, ah, bh, tout en fonction de h1.

Tu as donc une équation à une inconnue, comme tu connais P.

Shokin