Air d'une cardioïde
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Air d'une cardioïde



  1. #1
    inviteef8f1a68

    Air d'une cardioïde


    ------

    Bonjour,
    Je dois effectuer une intégrale double afin de trouver l'air du cardioïde suivant et je n'y arrive pas.

    Je dirais que le rayon doit être
    0 ≤ r ≤ 2a(cos(θ) + 1)

    Mais pour ce qui est de θ, je bloque, est-il entre 0 et pi en séparant la figure en deux par l'axe des x ??

    Merci beaucoup!!

    -----
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  2. #2
    inviteef8f1a68

    Re : Air d'une cardioïde

    En le faisant de cette manière, j'arrive à 6piA²...

  3. #3
    God's Breath

    Re : Air d'une cardioïde

    Je ne connais pas le résultat, mais il me semble que pour obtenir toute la cardioïde, il faut que décrive un intervalle d'amplitude .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    inviteef8f1a68

    Re : Air d'une cardioïde

    Pour me simplifier la tache, j'ai décidé de couper en deux par l'axe des x, où il y a une symétrie.... Voilà pourquoi j'utilise jusqu'à pi seulement.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    ericcc

    Re : Air d'une cardioïde

    Il semblerait que le résultat soir 3*pi*a²/2 cf http://www.mathcurve.com/courbes2d/c...cardioid.shtml

  7. #6
    sylvainc2

    Re : Air d'une cardioïde

    Citation Envoyé par ericcc Voir le message
    Il semblerait que le résultat soir 3*pi*a²/2 cf http://www.mathcurve.com/courbes2d/c...cardioid.shtml
    Ca c'est pour l'équation r=a(1+cos(t)):

    Avec un intégrale simple, en courbe polaire, l'intégrale pour l'aire est:
    A=int( (1/2) r^2 dt, a..b)

    Donc pour la moitié de la courbe (de 0 à pi) c'est
    int( 1/2 (a^2(1+cos(t))^2 dt,0..pi)
    et pour la courbe totale c'est 2 fois ca donc:
    2* 1/2 a^2 int( 1+2cos(t)+cos^2(t),0..pi)
    = a^2 [ t + 2 sin(t) + sin(2t)/4 + t/2 ]
    à évaluer pour t entre 0 et pi ca donne bien 3pi a^2/2

    Pour la courbe 2a(cos(t) + 1), l'aire est multipliée par 4 à cause du facteur 2 élevé au carré.

  8. #7
    inviteef8f1a68

    Re : Air d'une cardioïde

    Merci beaucoup!!! Très clair!!!!

  9. #8
    Horlem

    Re : Air d'une cardioïde

    Bonjour,
    Plutot que d'utiliser ds= (1/2).r^2.dθ, ne pourrait on pas utiliser la surface elementaire ds= r.dr.dθ ?
    Je me doute que oui... mais en l'utilisant je n'y arrive pas !
    Merci pour vos vos lanternes.
    Passion est vertu.

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