Calcul de la valeur principale de Cauchy d'une fonction

Icarus512 · 02/06/2009 - 17h46

Bonjour,

je dois calculer l'intégrale suivante : $\mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{z^2}{(z^2+b^2).(z-a)}.e^{-c|z|}dz$ .

avec $a,\ b,\ c$ , constantes positives et $\mathcal{P}$ signifie que l'on prend la valeur principale de Cauchy de cette intégrale. En effet, on se rend vite compte que la fonction à intégrer n'est pas définie en $z=a$ .

En utilisant Matlab, on obtient numériquement des résultats. Mais je pense qu'une forme analytique existe ce qui m'arrangerai car je dois souvent utiliser cette intégrale dans un code en C++.

J'ai donc essayé de l'intégrer de plusieurs manières mais sans réussite pour le moment. Je pense qu'en utilisant le théorème des résidus, on doit arriver à quelquechose bien que la fonction ne soit pas $\mathcal C^{\infty}$ .

Si vous avez une suggestion, je suis preneur.

Merci d'avance

BertrandRM · 02/06/2009 - 23h43

Je ne suis pas expert en analyse complexe, mais l'hypothèse $C^\infty$ n'est pas necessaire que je sache pour appliquer le théorème des résidus ?

Icarus512 · 03/06/2009 - 08h23

Non, en effet, il n'est pas nécessaire que la fonction à intégrer soit $\mathcal C^{\infty}$ .
Si l'on pose $f(z)=\frac{z^2}{z^2+b^2}.e^{-c|z|}$

et $I(a) = \mathcal{P} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(z)}{z-a}\text{d}z;\quad a>0$
Alors il est nécessaire si l'on souhaite utiliser le théorème des résidus que la fonction $f$ soit holomorphe (d'après Wikipedia) c'est-à-dire continue et dérivable dans $\mathbb{C}$ ce qui n'est pas le cas de $f$ à cause de la valeur absolue dans l'exponentielle.
Par contre, dans $\mathbb{R}_{+}$ et dans $\mathbb{R}_{-}$ , $f$ est continue et dérivable. Alors est-ce qu'il est nécessaire d'appliquer le théorème des résidus dans chaque ouvert séparemment. J'ai essayé mais cela devient vite hardu...