Primitive de Tanh
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Primitive de Tanh



  1. #1
    invitef32eab9e

    Primitive de Tanh


    ------

    Bonjour à tous,

    Voilà la primitive que je cherche à calculer:
    g (x) = Tanh (k * Cos (2 * Pi * f * x) )

    k et f sont des paramètres.

    Je sais que la primitive de Tanh est Log (Cosh x), peut-on alors considérer le Cos comme la partie réelle d'un e2 Pi f x et récupérer la partie réelle de la primitive obtenue?

    A moins que quelqu'un connaisse un moyen direct de calculer cette primitive?

    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    ericcc

    Re : Primitive de Tanh

    The Integrator ne connait pas de primitive à cette fonction...donc elle n'est pas exprimable par des fonctions classiques, je pense.

    Attention : ce n'est pas parce que tu connais une primitive de f(x) que tu connais forcément la primitive de f(u(x)) ! Par exemple la primitive de exp(u(x)) n'est bien évidemment pas exp(u(x)).

  3. #3
    invitef32eab9e

    Re : Primitive de Tanh

    Mathematica non plus n'y arrive pas, je pense donc effectivement qu'il n'y a pas de formulation analytique.

    Cela dit, le problème plus particulier qui m'intéresse alors est d'approximer la valeur de l'intégrale ainsi définie entre 0 et 1/(4*f) afin de déterminer la maximum de la primitive (qui est périodique, et atteint son maximum à x=1/(4f)).

    Pour l'instant, j'ai effectué le calcul avec:
    - d'une part la valeur moyenne du Cos (2 Pi f t) sur [0;1/(4f)]
    - d'autre part une approximation linéaire du Cos sur cet intervalle (soit 1-4 f t).

    J'ai ainsi obtenu des intégrales définies qui donnent une valeur approchée de l'intégrale initiale.

    Auriez-vous d'autres idées pour approximer cette intégrale?

  4. #4
    ericcc

    Re : Primitive de Tanh

    Regarde avec la méthode de Simpson :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Simpson

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitef32eab9e

    Re : Primitive de Tanh

    La méthode de Simpson n'est pas très efficace dans mon cas, à moins d'utiliser plusieurs noeuds, mais dans ce cas la formule simple que je cherchais n'est plus au gout du jour.
    La méthode de Gauss-Legendre est plus adaptée, mais là encore je vais me retrouver avec des formules à rallonge.

    Je vais donc m'en tenir à une approximation "linéaire" de mon cosinus, c'est encore ce qui me donne le meilleur rapport "précision/complexité".

    Je suis ouvert à toute nouvelle tentative!

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