series entieres

r-one · 15/04/2005 - 08h56

Bonjour,
Je revise un peu les series entieres pour les concours (j'en ai bien besoin apparement

) et je suis tombé sur un exo que je comprends que dalle ...
Pouvez vous m'aider ?

(1) Developper en serie entiere la fraction rationnelle : ${\frac{1}{(1-t^2)(1-t^4)(1-t^6)}}$
En déduire la valeur de ${\alpha_n}$ où ${\alpha_n}$ est le nombre de points entiers naturels (x,y,z) vérifiant : 2x+4y+6z=n.

(2) Quel est le rayon de convergence de cette serie . Quelle est la nature de la série ${\sum \frac{\alpha_n}{n^k}}$

(3) Comment calculer, b_n , le nimbre de points entiers naturels (x,y,t,z) vérifiant : 2x + 7y + z + 3t = n

Merci de votre aide...

martini_bird · 15/04/2005 - 12h19

Salut,

je propose une solution, pas très "astucieuse", mais qui fonctionne: en posant u=t², la série cherchée est le triple produit

$\left(\sum_{n\geq 0}u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{2n}\right)\left(\sum_{n\g eq 0}u^{3n}\right)$

Or
$\left(\sum_{n\geq 0}u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{2n}\right)= \sum_{n\geq 0}\left(\sum_{\stackrel{k=0}{k \;\;pair}}^n1\right)u^n= \sum_{n\geq 0}\left[\frac{n}{2}\right]u^n$

et
$\left(\sum_{n\geq 0}\left[\frac{n}{2}\right]u^n\right)\left(\sum_{n\geq 0}u^{3n}\right)=\sum_{n\geq 0}\left(\sum_{\stackrel{k=0}{n-k\equiv 0 \;mod \;3}}^n\left[\frac{n}{2}\right]\right)u^n$
d'où les coefficients:
$\alpha_n=\sum_{k=0}^{[n/3]}\left[\frac{n-3k}{2}\right]$

Celà répond à la première partie du 1).

Je te laisse chercher la suite (il faut utiliser le triple produit ci-dessus).

A+

r-one · 15/04/2005 - 12h27

Merci pour ta réponse , je v essayer de comprendre tout ca et de faire la suite ...
Merci
a+++

Gwyddon · 15/04/2005 - 17h08

en scindant la fraction en 1/(1-t^2), 1/(1-t^4) et 1/(1-t^6) avec quelques coefficients derrières, on peut s'en sortir non ?

martini_bird · 15/04/2005 - 17h14

Envoyé par 09Jul85

en scindant la fraction en 1/(1-t^2), 1/(1-t^4) et 1/(1-t^6) avec quelques coefficients derrières, on peut s'en sortir non ?

Salut,

hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

Cordialement.

Gwyddon · 15/04/2005 - 17h30

Envoyé par martini_bird

Salut,

hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

Cordialement.

grr...

m'est avis que tu n'as pas compris ma démarche. Je ne voulais pas décomposer en élément simples, du moins pas jusqu'au bout, je voulais juste scinder en petits morceaux pour avoir des termes développables aisément.

Bon je fais le calcul et je reviens te montrer ce que je souhaitais faire

Gwyddon · 15/04/2005 - 17h39

Envoyé par martini_bird

hum, m'est avis qu'il faudrait que tu revoies la décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples.

ok j'ai compris pourquoi tu dis ça, quand je parlais des coefficients, ces coefficients dépendaient aussi de x, x^2, etc...

martini_bird · 15/04/2005 - 17h39

Envoyé par 09Jul85

grr...

m'est avis que tu n'as pas compris ma démarche.

Ben, tu voulais décomposer la fraction sous la forme
$\frac{a}{1-t^2}+\frac{b}{1-t^4}+\frac{c}{1-t^6}$ ?

Envoyé par 09Jul85

Je ne voulais pas décomposer en élément simples, du moins pas jusqu'au bout, je voulais juste scinder en petits morceaux pour avoir des termes développables aisément.

Bon je fais le calcul et je reviens te montrer ce que je souhaitais faire

J'attends...

Amicalement.

Gwyddon · 15/04/2005 - 17h52

bon c'est infernal, tout aussi compliqué sinon plus que ta méthode, on oublie ma proposition

(mais note bien qu'elle fonctionne, elle amène juste à résoudre un système de 9 équations à 9 inconnues...)

martini_bird · 15/04/2005 - 18h09

J'ai compté douze inconnues car $(1-t^2)(1-t^4)(1-t^6)=(1-t)^3(1+t)^3(1+t^2)(1+t+t^2)(1-t+t^2)$

et donc
$\frac{1}{(1-t^2)(1-t^4)(1-t^6)}=\frac{a_1}{1-t}+\frac{a_2}{(1-t)^2}+ \frac{a_3}{(1-t)^3}+\frac{a_4}{1+t}+\frac{a_ 5}{(1+t)^2}+\frac{a_6}{(1+t)^3 }+ \frac{a_7t+a_8}{1+t^2}+\frac{a _9t+a_{10}}{1+t+t^2}+ \frac{a_{11}t+a_{12}}{1-t+t^2}$

Bref, c'est clair que c'est faisable, mais après tu fais quoi des derniers termes $\frac{at+b}{1\pm t+t^2}$ ?

Gwyddon · 15/04/2005 - 19h01

salut,

bon en fait ma démarche ne fonctionne absolument pas... Je vais montrer ce que je souhaitais faire avec $\displaystyle \frac{1}{(1-t^2)(1-t^4)}$ c'est moins long à écrire ;

L'idée était d'écrire $\displaystyle \frac{1}{(1-t^2)(1-t^4)} = \frac{a t^3 + b t^2 + c t + d}{(1-t^4)} + \frac{\alpha t + \beta}{(1-t^2)}$ et de calculer les bon coefficients.

Je ne voulais donc pas décomposer en éléments simples (car je sais qu'il reste des termes que je sais pas développer). Mais ça ne va pas, donc mea culpa pour avoir bêtement insisté.

Gwyddon · 15/04/2005 - 19h55

bon je ne vois rien d'autre que les produits de cauchy de martini_bird, si quelqu'un a une autre solution plus élégante, qu'il n'hésite pas

r-one · 16/04/2005 - 09h30

salut !
je comprends pas le cheminement pour arriver au produit triple que martini_bird a proposé...

Gwyddon · 16/04/2005 - 13h10

tu sais (car tu connais tes DSE classiques...) que pour |t| < 1 on a
$\displaystyle \sum_{n=0}^{+ \infty} t^n = \frac{1}{1-t}$

Tu constate ici que pour |t|<1 tu as aussi $|t^2| <1, |t^4| <1, |t^6| <1$ , donc tu as :

$\displaystyle \frac{1}{(1-t^2)(1-t^4)(1-t^6)}= (\sum_{n=0}^{+ \infty} (t^2)^n)(\sum_{n=0}^{+ \infty} (t^4)^n)(\sum_{n=0}^{+ \infty} (t^6)^n)$

la suite, c'est martini_bird

@+
julien

r-one · 16/04/2005 - 13h49

A ouiiiiiiiiii je suis trop bete ! merci bien ....

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