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Evil.Saien · 21/04/2005, 21h24

En parlant de suite et série, je me souviens plus d'un truc, et croyez bien que j'en suis tout honteux !

Je me souviens plus comment on montre que la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divèrge !!!

Désolé de poser une question si bête... Mais merci de prendre le temps de m'éclairer !

**matthias** · 21/04/2005, 21h32

Citation:

Envoyé par Evil.Saien

En parlant de suite et série, je me souviens plus d'un truc, et croyez bien que j'en suis tout honteux !

Je me souviens plus comment on montre que la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divèrge !!!

Désolé de poser une question si bête... Mais merci de prendre le temps de m'éclairer !

En minorant |S(2n) - S(n)|, et en concluant que la suite des sommes partielles n'est pas une suite de Cauchy, par exemple.

Evil.Saien · 21/04/2005, 21h37

Est-ce qu'il n'y a pas un moyen plus simple, par exemple en montrant qu'elle est strictement monotone croissante et que pour tout M >0 il éxiste un N0 tels que S(N0)>M...
J'ai essayé de le montrer comme ca, mais il y a quelques petits problèmes...

L'éxplication que tu m'as donné est sans doute correcte, mais ca fait plusieurs années que j'ai pas refait de l'analyse, donc je ne sais plus ce qu'est une suite de cauchy ou "la suite des sommes partielles"...

**matthias** · 21/04/2005, 21h55

Citation:

Envoyé par Evil.Saien

Est-ce qu'il n'y a pas un moyen plus simple, par exemple en montrant qu'elle est strictement monotone croissante et que pour tout M >0 il éxiste un N0 tels que S(N0)>M...
J'ai essayé de le montrer comme ca, mais il y a quelques petits problèmes...

surement, mais de là à dire que ce serait plus simple ...

Citation:

Envoyé par Evil.Saien

L'éxplication que tu m'as donné est sans doute correcte, mais ca fait plusieurs années que j'ai pas refait de l'analyse, donc je ne sais plus ce qu'est une suite de cauchy ou "la suite des sommes partielles"...

suite des sommes partielles:
$S_n = \displaystyle \sum_{i=1}^{n} U_n$
$(S_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ de Cauchy <=> $\forall \epsilon > 0, \; \exists \; N \in \mathbb{N} \text{ tel que } p \geq N \text{ et } q \geq N \; \Longrightarrow \; |S_p - S_q| < \epsilon$
Dans IR, suite de Cauchy <=> convergente

**matthias** · 21/04/2005, 22h00

Et ici:
$U_n = \frac{1}{n}$
$S_{2n} - S_n = \displaystyle \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \geq \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}$
Et on en déduit que $(S_n)$ ne peut pas être une suite de Cauchy.

**matthias** · 21/04/2005, 22h05

Tu as aussi une démo simple en encadrant les (intégrales de f(x) = 1/x entre k et k+1) par 1/k et 1/(k+1), et en sommant.
Tu retrouves ainsi la constante d'Euler.

evariste_galois · 21/04/2005, 23h10

Evil.Saien,

tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:

"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"

Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.

Evil.Saien · 21/04/2005, 23h36

Citation:

Envoyé par evariste_galois

Evil.Saien,

tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:

"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"

Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.

je connaissais pas ce théorème... forcement !

Gwyddon · 21/04/2005, 23h44

Je vous propose une démo sympa, par l'absurde :

On suppose $S = \large \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{1}{n}$ existe.

Alors l'on a :

$S = 1+ \displaystyle \sum_{n=2}^{+ \infty} \frac{1}{n} \\ = 1 + \displaystyle \sum_{n=2}^{+ \infty} \frac{n-1}{(n-1)n} \\ = 1+ \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{n}{n(n+1)} \\ = 1 + \displaystyle \sum_{n=1}^{+ \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{n(n+1)} \\ = 1+ \displaystyle \sum_{k=1}^{+ \infty} \sum_{n=k}^{+ \infty} \frac{1}{n(n+1)} \\ = 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{+ \infty} \sum_{n=k}^{+ \infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n-1} \right) = 1 + \displaystyle \sum_{k=1}^{+ \infty} \frac{1}{k} = 1 +S$

ce qui manifestement est une contradiction

Voilà, bonne nuit à tous

Gwyddon · 21/04/2005, 23h46

ah oui, note historique (dans un nouveau message, pour ne pas surcharger le message précédent) : cette démo serait dûe à Johannes Bernoulli (traduite dans le formalisme moderne bien sûr)

**matthias** · 22/04/2005, 02h49

Citation:

Envoyé par 09Jul85

ah oui, note historique (dans un nouveau message, pour ne pas surcharger le message précédent) : cette démo serait dûe à Johannes Bernoulli (traduite dans le formalisme moderne bien sûr)

C'est joli, mais c'est pas la démo la plus simple. et c'est dommage il y a une coquille sur la dernière ligne

c'est $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

Gwyddon · 22/04/2005, 11h36

Citation:

Envoyé par matthias

il y a une coquille sur la dernière ligne

c'est $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

merci pour la correction

**matthias** · 22/04/2005, 12h36

Citation:

Envoyé par evariste_galois

Evil.Saien,

tu dois sans doute te rappeller du théorème suivant:

"si une fonction f décroit positivement vers 0, alors son intégrale sur lR+ est de meme nature que la série de terme général f(n)"

Suffit d'appliquer ce théorème à la série harmonique de terme général 1/n, puisque tu sais que la primitive de 1/x diverge en l'infini.

Citation:

Envoyé par Evil.Saien

je connaissais pas ce théorème... forcement !

La méthode que j'ai proposée au message #6 revient à le redémontrer dans le cas particulier de f(x) = 1/x
Cela vient simplement du fait que si f est décroissante,
$\forall x \in [k;k+1], \; f(k) \geq f(x) \geq f(k+1)$ et donc:
$f(k) \geq \displaystyle \int_{k}^{k+1} f(x)dx \geq f(k+1)$
En sommant et en utilisant la relation de Chasles, tu commences à entrevoir le résultat du théorème

[EDIT: merci à la modération d'avoir divisé l'ancien fil]

criticus · 22/04/2005, 14h54

J'ai 2mn :

si

$Sn = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\1/k\$

alors Sn >= n*1/n =1 et donc la nième somme partielle ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini : la série harmonique diverge ! Non ?

martini_bird · 22/04/2005, 14h59

Citation:

Envoyé par criticus

J'ai 2mn :

si

$Sn = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\1/k\$

alors Sn >= n*1/n =1 et donc la nième somme partielle ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini : la série harmonique diverge ! Non ?

La suite constante u_n=2 vérifie u_n>1, donc elle diverge?

criticus · 22/04/2005, 15h02

Citation:

Envoyé par Evil.Saien

Je me souviens plus comment on montre que la série 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... divèrge !!!

C'est bien de cette série dont on parle ou pas ?

martini_bird · 22/04/2005, 15h05

C'était juste pour te montrer que tu as écrit une (très) grosse ânerie: une suite minorée ne diverge pas forcément!

Cordialement.

criticus · 22/04/2005, 15h06

Je savais bien que pour qu'une série converge il faut que son terme général tende vers 0 quand n-> infini !

bonne journée !

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