produit scalaire triangle

[Blue-eyed-girl]

slt à tous! g un problème avec cet exo
énoncé: ABC est un triangle, on note alpha,beta,gamma les mesures en radians des angles Â,^B,^C et on pose a = BC, b = CA, c = AB
1.a) vérifiez que AB.AC + BA.BC = AB²
b) déduisez en que c = acos beta + bcos alpha

2. Dans cette question, on suppose que beta = 2 alpha
a) démontrer que 0<alpha < pi/3
b) démontrer que cos alpha = b/2a
c) déduisez-en que b²-a² = ac

la première question j'y suis bien arrivé, mais la deuxième je ne comprends plus du tout, sans avoir de données je ne vois vraiment pas comment il faut faire
si vous pouviez m'aider merci davance

[Antikhippe]

Salut,

2)a) : Tu as alpha + bêta + gamma = pi (car la somme des angles d'un triangle...)
Or bêta = 2 alpha donc 3 alpha + gamma = pi donc finalement, il faut que 0 < alpha < pi/3.

[Blue-eyed-girl]

mais quand on en est à 3alpha + gamma = pi
je peux pas en déduire direct alpha, non?

[Antikhippe]

mais quand on en est à 3alpha + gamma = pi
je peux pas en déduire direct alpha, non?

Non, mais ce n'est pas ce que te demande la question...

Pour le 2)b), je pense qu'il faut utiliser le produit scalaire...

[Blue-eyed-girl]

je suis parti de : c = bcos alpha + acos beta
avec la loi des sinus : a sin beta / sin alpha = bcos alpha + acos beta
mais c'est le cosinus qui me gêne, j'ai le droit de passer directement au sinus?

[shokin]

2a) La somme des angles d'un triangle égale exactement pi.
Chaque angle d'un triangle est donc compris dans l'intervalle ouvert ]0;pi[

alpha + beta + gamma = pi

Si beta=2alpha,

3alpha + gamma = pi

Comme gamme est non nul, 3 alpha < pi donc alpha < pi/3.

Pour le 2b) le théorème du sinus ou du cosinus ne peuvent-ils nous aider ?

Shokin

[Antikhippe]

2a) La somme des angles d'un triangle égale exactement pi.
Chaque angle d'un triangle est donc compris dans l'intervalle ouvert ]0;pi[

alpha + beta + gamma = pi

Si beta=2alpha,

3alpha + gamma = pi

Comme gamme est non nul, 3 alpha < pi donc alpha < pi/3.

Ca n'allait pas ce que j'ai fait ???

[shokin]

Si, si, nos deux raisonnement jouent.

Pour la 2b, pas de problème, c'est pour le b2 que je planche...

Mais comme il faut démontrer que cos(alpha) = b/2a, je pense simplement utiliser la définition du cos ainsi :

Soit C' le point situé sur la droit (AB) tel que C soit sa projection orthogonale sur la droite (AC).[Autrement dit, les vecteurs CA et CC' sont orthogonaux.] Considérons alors le triangle rectangle ACC', rectangle en C. Alors cos(alpha)=b/c' (c' étant la longueur du segment AC?). Démontrer alors que c'=2a.

Si alpha=pi/6, beta=pi/3, donc gamma=pi/2, donc ABC est rectangle en C, donc sin(alpha)=a/c' (C' confondu avec B) =1/2 = a/2a, donc c'=2a.

Heu... si alpha égale pi/4, c'est également facile à voir...

mais si alpha n'est égal à aucune de ces deux valeurs ?...

Shokin

[shokin]

Je crains qu'il ne faille s'aider d'une des formules suivantes :

cos(2@)=(cos(@))^2 - (sin(@))^2
sin(2@)=2sin(@)cos(@)

que je ne saurais démontrer.

A moins d'une astuce astucieuse.

Shokin

[matthias]

J'ai une méthode, mais je doute que ce soit la plus simple. Quelque chose a du m'échapper.

On prend D le point d'intersection entre la bissectrice issue de B et la droite (AC).
On montre facilement que BDC et ABC sont semblables (les mêmes angles).
On en déduit BD/AB = BC/AC
Or ABD est isocèle (2 angles égaux à alpha)
Donc cos(alpha) = AB/(2BD)
Ce qui donne cos(alpha) = AC/(2BC) = b/(2a)

[Antikhippe]

Je crains qu'il ne faille s'aider d'une des formules suivantes :

cos(2@)=(cos(@))^2 - (sin(@))^2
sin(2@)=2sin(@)cos(@)

que je ne saurais démontrer.

Sur le lien suivant, il y a les démos proposées, mais ils admettent la formule cos(a-b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)...
http://perso.wanadoo.fr/gilles.costa...s/relametr.pdf

[matthias]

Sur le lien suivant, il y a les démos proposées, mais ils admettent la formule cos(a-b) = cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)...
http://perso.wanadoo.fr/gilles.costa...s/relametr.pdf

Ils la démontrent en première page avec les produits scalaires.

[Antikhippe]

Ils la démontrent en première page avec les produits scalaires.

Ah oui, j'avais pas tout regardé... Toutes les autres formules s'en déduisent.