Exercice de balistique

[le glaude]

Bonjour à tous,
Voila, j'ai un gros probleme dans la résolution d'une équation differentielle.
Je vous explique : Je voudrais calculer la hauteur maximum que peut atteindre un projectil ayant une certaine vitesse initiale vo en tenant compte des forces de frottement F = -fv².

J'en arrive donc à l'équation differentielle suivante :
d²x/dt² + f(dx²/dt) + g = 0
Avec f = constante et g = constante

Malheureusement, je n'arrive pas à résoudre cette équation ...
Si vous pouviez me donner une indication , sa serait très aimable de votre part car je galère depuis quelques temps sur ce probleme.

Je vous remercie beaucoup et je vous souhaite une bonne soirée.
Amicalement.
Le glaude

[ericcc]

Si tu poses u=dx/dt, tu arrives à une équation de la forme

u'+au²+b=0

C'est une équation du premier degré à variables séparables (tu mets tous les termes en u d'un coté et tous les termes en t de l'autre);

[le glaude]

Merci ericcc

Alors, j'ai pas tout compris :
Quand tu dis de mettre les u d'un coté et les t de l'autre, il n'y a pourtant plus de t dans la nouvelle équation ?

Bonne journée.
Le glaude

[ericcc]

u'=du/dt
du/dt=-au²-b
du/(au²+b)=-dt
et tu intègres de chaque coté

[le glaude]

Encore merci ericcc, je crois que je touche au but !
Je récapitule :

du/(au²-b) = -dt

=> (1/2a)*int[ (2adu)/(au² - b)] = -t
=> (1/2a)*ln(au² - b) = -t
=>(1/2a)*ln(a(dx²/dt) - b) = -t
=> ln(a(dx²/dt) - b) = -2at

On passe à l'exponentiel

=> a(dx²/dt) - b = exp(-2at)
=> dx²/dt = (exp(-2at) + b)/a
=> dx² = ((exp(-2at) + b)/a)dt

=> x² = - (1/2a²)(exp(-2at) + (b/a)t)
=> x(t) = (-(1/2a²)(exp(-2at) + (b/a)t))^(1/2)

Voila j'ai pas l'impression que c'est juste car x²<0 ...
Je vois pas du tout où je me serait trompé.

Cordialement
Le glaude

[le glaude]

Nan en fait, j'ai faux dès la 2eme ligne mais je vois pas comment intégré en fait...

[ericcc]

Déjà c'est au²+b et non au²-b dans tes formules.
Ensuite, je suppose que a et b sont des constantes positives, cela revient à intégrer 1/(u²+b/a), en factorisant a dans cette équation.
Tu dois connaitre la primitive de 1/1+x² ?

[le glaude]

Ah oui mince, je me suis trompé c'est +b

Primitive de 1/1+x² ... heu, je dirais arctan(x) !
en effet, a et b sont des constantes mais la primitive de 1/(x² + b/a) c'est arctan(x) ? (le b/a, sa me gène un peu)

[ericcc]

Ben non, ce serait trop facile....il faut que tu te retrouves avec une forme 1/1+u², je te laisse chercher, ou regarder un formulaire classique d'intégration

[le glaude]

Oui en effet, sa aurait été trop facile ...

1/(x² + b/a) = (a/b)(1/((a/b)x² + 1)) mais je vois pas du tout comment éliminé le coefficient (a/b) devant x².

A moins d'utiliser (arctan(u))' = u'/(1 + u²) mais je tourne en rond

Je trouve (a²/b²)/((ax/b)² + (a/b)) et je bloque et je sais pas dans quelle direction aller.

[le glaude]

euréka ! je crois avoir trouvé !

1/(x² + b/a) = (a/b)(1/((a/b)x² + 1))
= (a/b)(1/(((racine(a²/b²)x)² + 1)))

La primitive sera : (a/b)arctan(racine(a²/b²)x)

Si c'est pas sa, alors je ne voit pas du tout.

[le glaude]

Petite rectification, la primitive est :

(a/b)arctan(racine(a/b)x)

Voila

[le glaude]

Bonjour,

J'ai continué le calcul et je voudrais savoir si mon résultat est juste.

tb/a = - arctan ((a/b)^(0.5) * dx/dt)

Ensuite j'ai appliqué la fonction tangente :

tan(tb/a) = -(a/b)^(0.5) * dx/dt

=> - dx/dt = 1/((a/b)^(0.5)) * tan(tb/a) - vo

J'ai ajouté vo car je l'avait oublier
Et enfin :
=> x(t) = a/(b(a/b)^(0.5)) * ln(cos(tb/a)) + vot

Je voudrais savoir si je me suis pas trompé dans les calculs si possible

Merci beaucoup
Cordialement
Le glaude

[phys4]

Bonjour,

J'ai suivi vos discussions car ce problème avait déjà été résolu dans une autre discussion.
Il y a des erreurs de constantes, le calcul doit être fait avec plus de précautions.
Il n'y a pas de V0, car la vitesse est absolue par rapport à l'air dans la formule, mais il ya un X0 et un T0.
L'équation en x doit avoir 1/a comme coefficient et (ba)^1/2 comme facteur sur le temps.
Enfin, pour compléter, il y a deux solutions pour trajectoires montantes et descendantes car la résistance de l'air change de signe.
A bientot j'espère.

[le glaude]

Merci pour votre réponse.
J'ai l'impression que mon niveau en math n'est pas suffisant pour se genre de calcul
C'est domage car je tenais faire un programme en language C qui aurait permit de calculer à chaque instant la position, la vitesse et l'énergie du projectil.
J'ai pourtant chercher des heures sur le net les équations mais je n'ai jamais trouver la solution...
J'ai fait les calculs sans frottement (c'est très simple) mais cela ne représente aucunement la réalité.