Racine n-ième d'un nombre complexe

Texanito · 19/09/2009 - 15h52

Bonjour !

Même pas une semaine que les cours ont commencés et je commence déjà à être largué...
Il a été dit lors d'une séance de TD, que les nombres complexes possèdent n racine n-ième mais on ne l'a pas démontré

Donc pour la racine carrée d'un nombre complexe ca va encore mais pour la racine cubique c'est une autre histoire...

Je remercie d'avance la personne qui voudra bien m'expliquer ou me montrer le chemin pour résoudre une équation de type z^3 = z'

Bonne journée !

phryte · 19/09/2009 - 16h36

Bonjour.
http://homeomath.imingo.net/complex10.htm

Texanito · 19/09/2009 - 16h52

Merci beaucoup c'est exactement ce que je cherchais !

Mikihisa · 20/09/2009 - 00h31

Soit $z= \rho e^{i\theta}$ avec $(\rho,\theta)\in \mathbb{R}^2$ et $A=ae^{i\alpha}$ avec $(a,\alpha)\in \mathbb{R}^2$ .

On cherche à résoudre l'équation $z^n=A=\rho^n e^{i n\theta}= ae^{i\alpha})$ où z est l'inconnue et A est donné.
Alors par identification on a:
$\left\{ \begin{array} \rho^n=a \\ n\theta\equiv\alpha[2\pi] \end{array} \right$

$\Longleftrightarrow\left\{ \begin{array} \rho=a^{1/n} \\ \theta\equiv\frac{\alpha}{n}[\frac{2\pi}{n}] \end{array} \right $

Donc $z=a^{\frac{1}{n}} e^{i(\frac{\theta}{n}+\frac{2k \pi}{n})$ . On peut dire que $k\in\mathbb{N}$ mais si $k>n$ on retombe sur nos première valeurs puisque le nombre $(\frac{\theta}{n}+\frac{2k\pi} {n})$ est donné à $2\pi$ près.
Ainsi on prendre $k\in[[0,1,2,...,n-1]].$
Cela nous permet de dire qu'il existe n racine n-ième du complexe A.