Espace de Hilbert - Espace complet

[Azuriel]

Bonjour,

Dans un exercice de decouverte sur la convergence faible, on introduit un moment un espace de Hilbert qui me pose probleme...

On se place donc dans un espace particulier qu'on appelle H1 defini comme suit :

H1 = l'ensemble des fonction L²(T^d) tel que ||f||²= Sum sur k dans Z^d {(1+|k|²)|Ck(f)|²} <+linfini où Ck represente les coefficient de Fourier de f.

Le produit scalaire est le suivant : <f|g>=Sum sur k dans Z^d {(1+|k|²)|Ck(f)||Ck(g)| où Ck(f) represente le conjugué de Ck(f).

Là j'ai un petit probleme avant de passer la suite car il faut au préalable justifié que c'est un espace de Hilbert. J'arrive a montrer que c'est un espace pré-hilbertien mais je n'arrive pas a montrer que l'espace de Cauchy sachant que je ne sais pas trop quelle demarche adopter (en prenant une suite de Cauchy j'ai un peu de mal...). Une idée ? J'ai jamais du montrer qu'un espace était complet donc je ne connais pas trop les méthodes.

Merci d'avance.

[rvz]

Salut,

Si tu raisonnes sur

tu devrais t'apercevoir que converge H^1 ssi converge L^2.
Du coup, en utilisant le caractère complet de L^2, tu dois t'en sortir facilement.

__
rvz, pré or post hilbertien ?

[Azuriel]

Merci d'avoir repondu.

Donc j'utilise la méthode classique (je prends une suite de Cauchy) et j'utilise a un moment cet argument pour passer dans L² puis revenir dans H1 ou tu penses a autre chose ?

[rvz]

Effectivement, je ne pense qu'à ça

__
rvz, télépathe

[Azuriel]

J'ai un petit probleme de passage quand meme. Car les Ck tilde ne determinent plus les coefficients de fourier...

Tu peux préciser le calcul ou du moins le passage car là j'ai un peu de mal a mettre ça en oeuvre. Merci.

[rvz]

J'ai un petit probleme de passage quand meme. Car les Ck tilde ne determinent plus les coefficients de fourier...

Tu peux préciser le calcul ou du moins le passage car là j'ai un peu de mal a mettre ça en oeuvre. Merci.

Euh...

de Cauchy dans H1

équivaut à

de Cauchy dans L2

implique (L2 hilbert)

converge dans L2

équivaut à

converge dans H1.


Je te laisse vérifier les implications/équivalences, mais ça tourne.

__
rvz

[Azuriel]

Ah oui tu choisis de prendre comme suite Ck, c'est ça ?

[Azuriel]

Mais il ne faudrait pas appliquer ce raisonnement sur les fonctions plutôt ?

Car c'est une suite de fonction qui doit converger...

[Azuriel]

Bon j'ai peut etre reussi. Dites moi si le raisonnement ci dessous fonctionne :

Soit (fn) une suite de cauchy appartenant a H1.

On a donc par definition, pour tout epsilon>0, l'existence de N tel que pour tout p>q>N, NormeH1(fp-fq) < epsilon

C'est equivalent a Sum (1+|k|²) |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon

equivaut a pour tout k, |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon/k² (1) (bon le k est tjs avec des valeurs absolue mais j'arrete de le noter)

On a donc puisque L² est complet, (Ck(fn)) est une suite qui converge dans L²vers Ck(f)
Or maintenant qu'on sait que la limite existe on a d'apres (1)

|Ck(fp)-Ck(fq)|² = o(1/k²) et cela nous donne d'apres l'inégalité triangulaire et puisque que tout Ck(fn)²=o(1/k²) (car fn dans H1) => |Ck(fp)|²=o(1/k²) donc en passant a la limite sur p, Ck(f) est un petit o de 1/k² également.

Donc f appartient a H1 (on peut changer somme et limite car on a convergence normale de la somme des Ck*e^ikx) et donc la suite (fn) converge vers f dans H1.

Donc H1 est complet.

[rvz]

C'est equivalent a Sum (1+|k|²) |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon

equivaut a pour tout k, |Ck(fp)-Ck(fq)|² < epsilon/k² (1) (bon le k est tjs avec des valeurs absolue mais j'arrete de le noter)

On a donc puisque L² est complet, (Ck(fn)) est une suite qui converge dans L²vers Ck(f)
Or maintenant qu'on sait que la limite existe on a d'apres (1)

Le début est bien mais ça c'est faux. Ta condition n'implique pas que ta suite est de Cauchy dans L2.

Reprend peut-être le truc que je t'ai donné avec les . Je m'aperçois maintenant que c'est le double indice de suite qui te gêne. La suite de Cauchy que tu considères est une suite de , qui sont défini par leurs coefficients sur une base .

Ce que je dis alors, c'est que dire que est de Cauchy dans H1 équivaut à dire que définie par

est de Cauchy dans L2.

Est-ce que c'est plus clair pour toi ?

__
rvz

[Azuriel]

En fait j'ai un peu de mal a voir comment introduire les 1+k²...

Car ce qui m'embete c'est de rajouter les 1+k² devant les Ck qui ne sont donc plus vraiment des Ck et donc je ne serais pas comment faire pour dire que ma limite trouvé est dans H1.

Peux tu me dire explicitement la fin du calcul pour "retourner" dans H1 ?

Merci de passer de ton temps a m'aider .