Métrique de Minkowski

[parousky]

Bonjour, j'ai plusieurs questions à propos de la métrique de Minkowski en particulier. Cette métrique s'énonce ainsi :
ds² = -c²dt² + dx² + dy² + dz²

- Les d correspondent-ils à une variation infinitésimale de chaque dimension ?
- Comment le temps se calcule t-il, dépend-il des coordonnées spatiales du point considéré ?

[Calvert]

Salut !

- Les d correspondent-ils à une variation infinitésimale de chaque dimension ?

Oui !

- Comment le temps se calcule t-il, dépend-il des coordonnées spatiales du point considéré ?

Il ne se calcule pas, il se mesure ! Cette formule donne la distance entre deux points dans l'espace de Minkowski. De la même manière que dans une métrique "normale"



est la mesure de la distance infinitésimale entre deux points de coordonnées (x,y,z) et (+dx, y+dy, z+dz).

[parousky]

Et comment se mesure t-il ? C'est le temps de faire quoi ?

[martini_bird]

Salut,

- Les d correspondent-ils à une variation infinitésimale de chaque dimension ?

Oui !

Et dans ce cas, à quelle dimension correspond s ?

Cordialement.

[ù100fil]

Salut,



Et dans ce cas, à quelle dimension correspond s ?

Cordialement.

Tout simplement espace-temps me semble t-il non ?


Patrick

[Coincoin]

Et dans ce cas, à quelle dimension correspond s ?

s n'est pas une dimension, c'est la distance entre deux évènements de l'espace-temps. C'est juste une généralisation du théorème de Pythagore. On calcule la distance entre deux points dans un espace à 4 dimensions avec une certaine structure.
Et à cause des problèmes éventuels de courbure (qu'on n'a pas encore avec Minkowski), on est obligé de le faire pour des points très proches.

[martini_bird]

Salut,

ma remarque portait sur le fait que c'est peut-être un peu simpliste de résumer le "d" à une variation infinitésimale. C'est précisément le sens de la définition du ds² : on aurait pu considérer une autre forme quadratique (éventuellement avec la même signature) et l'intervalle n'aurait plus nécessairement le même sens.

Bref, on ne va pas rentrer dans la machinerie des 2-formes différentielles, mais il me semble pourtant que c'est le seul moyen de donner une définition rigoureuse de la métrique.

Cordialement.

[Calvert]

ma remarque portait sur le fait que c'est peut-être un peu simpliste de résumer le "d" à une variation infinitésimale. C'est précisément le sens de la définition du ds² : on aurait pu considérer une autre forme quadratique (éventuellement avec la même signature) et l'intervalle n'aurait plus nécessairement le même sens.

Certes, mais il me semble (dans mon esprit simpliste de physicien) qu'en première approche, et pour comprendre les bases de la relativité restreinte, appréhender la métrique de cette manière n'est pas forcément la pire solution... Peut-être me trompé-je, tant pis !

Bref, on ne va pas rentrer dans la machinerie des 2-formes différentielles, mais il me semble pourtant que c'est le seul moyen de donner une définition rigoureuse de la métrique.

Oui, oui, mais même remarque...

[ù100fil]

Bonsoir,

Cela soulève la question de savoir qu'elle est la meilleure démarche pédagogique pour appréhender ces concepts d'espace et de métrique ?

Doit on abandonner les présentations de l'espace métrique comme celle-ci :

Un ensemble V s'appelle espace métrique si à chaque paire de points x,y appartenant à V on associe un nombre réel d(x,y), appelé distance, et lequel à les propriétés suivante :

d(x,y) > 0 pour tout x différent de y
d(x,y) = 0 pour x = y
d(x,y) = d(y,x) pour tout x,y de V
d(x,y) <= d(x,z) + d(y,z) pour tout x,y,z de V

qui conduisent à commencer par présenter la métrique euclidienne pour continuer sur l'espace vectoriel normé, espace à produit scalaire ... pour arriver aux notions de forme linéaire, formes différentielles ... ?


Patrick

[parousky]

Désolé mais je crains ne pas avoir obtenu ma réponse. Lorsque l'on parle de temps t : c'est le temps entre quels évènements ?
Et si l'on parle de distance infinitésimale, la distance s ne doit pas être proche de 0 ?

[ù100fil]

Désolé mais je crains ne pas avoir obtenu ma réponse. Lorsque l'on parle de temps t : c'est le temps entre quels évènements ?

Un évènement c'est un lieu (espace) et une date (temps).

Dans un espace euclidien la distance entre deux points est un invariant. Sa mesure est indépendante de tout référentiel inertiel.

Dans un espace pseudo-euclidien de Minkowski des observateurs situés dans des référentiels différents vont obtenir une séparation en temps et en espace différente entre deux mêmes évènements mais l'intervalle d'espace-temps (distance entre deux points évènements) lui sera inchangé : il est indépendant du référentiel inertiel choisi, c'est maintenant lui qui est un invariant.

Patrick

[parousky]

Alors le temps est égal à l'intervalle d'espace-temps divisé par c :

t = s/c ????

[ù100fil]

Alors le temps est égal à l'intervalle d'espace-temps divisé par c :

t = s/c ????

En quelque sorte oui pour le temps propre (qui est un invariant) http://luth2.obspm.fr/IHP06/lectures...elResENS07.pdf (page 5 et 6).

Tu devrais plutôt poser ce type de question sur le forum de physique.

Patrick

[parousky]

Mais cette histoire de longueur infinitésimale me dérange un peu. Si chaque dimensin ajoutée est proche de zéro, alors s est proche de zéro. Quel est l'intérêt de calcule une distance quasi-nulle ?
Par exemple, je veux connaître la distance entre A(2;3;4;5) et
B(3;4;5;6), comment dois-je m'y prendre ?