[L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques
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[L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques



  1. #1
    invite811963fc

    Unhappy [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques


    ------

    Bonjour,

    je suis actuellement en Bachelor 1 (comprendre L1) de maths / info à Darmstadt en Allemagne.

    Néanmoins, mon cours d'algèbre linéaire est en allemand, et j'ai un peu du mal pour ce qui est des structures algébriques.

    Pour vous donner un exemple concret :

    Soit R un anneau unitaire, dans lequel a²=a pour tout a dans R. montrez que :

    1) pour tout a dans R, a + a = 0
    2) R est un anneau communatif

    Pour la question 1), j'avais mis, par reflexe,
    a + (-a) = 0 (-a est dans R par définition)
    <=> a² + (-a)² = 0
    <=> a² + a² = 0 (c'est pour le passage entre l'étape précédente et celle ci que c'est très louche)
    <=> a + a = 0

    et pour la question 2, je pensais utiliser les lois de l'associativité (def de l'anneau)

    Néanmoins, je suis tout le temps troublé par le fait d'utiliser des + et . pour des opérations qui ne sont pas nécessairement des additions et multiplications. Donc, quelles sont les limites des anneaux (par exemple, est-ce que j'ai écrit peut marcher?), et comment simplifier ces problèmes d'écriture?

    (je sais que ce n'est pas clair, n'hésitez pas à me demander de préciser)

    Merci d'avance


    PS : juste pour vérifier, un ensemble de la forme Z/nZ, c'est bien {1, 2, 3, ..., n-1}? Ce n'est pas précisé dans le cours

    -----

  2. #2
    invitebe0cd90e

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Effectivement ca te perturbe Notes que cette ligne : "<=> a² + (-a)² = 0" est deja fausse dans les anneaux que tu connais (R, Z, etc..)... Ici elle est vraie parce que a=-a, mais c'est justement ce que tu veux démontrer !

    Comme tu es dans un cas general, en gros le seul moyen de prouver qu'un element x est nul, c'est de trouver un certain b el que x+b=b, c'est la seule caracterisation du 0 qui soit toujours valable.

    Bref, dans ce cas l'idée c'est que a+a est aussi un element de l'anneau, donc il verifie aussi . Developpe et regardes ce qu'il se passe.

    Pour le 2e, l'idée est la meme, je reconnais qu'il fallait voir l'astuce : tu sais que , developpe et deduis en que ab+ba=0. Or tu sais d'apres 1) que ba=-ba.

    Enfin, pour ta derniere question, tu oublies 0.

    Viel Spass

  3. #3
    God's Breath

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par PLBD Voir le message
    Pour la question 1), j'avais mis, par reflexe,
    a + (-a) = 0 (-a est dans R par définition)
    <=> a² + (-a)² = 0
    <=> a² + a² = 0 (c'est pour le passage entre l'étape précédente et celle ci que c'est très louche)
    <=> a + a = 0
    Ces équivalences me semblent plus que douteuses...

    La technique, pour la question 1), c'est de développer .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  4. #4
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Merci beaucoup à vous deux pour vos réponses

    Donc, si je comprends bien, je peux développer la forme (a + b)². En est-il de même pour (a - b)² et a² - b²? Ceci vient-il de la distributivité?

    Je me replonge dans mes exos essayer ça. Encore merci pour vos réponses

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    invitebe0cd90e

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Alors oui, tu peux mais attention ! Les anneaux ne sont pas toujours commutatifs, donc tu dois adapter les identités remarquables, par exemple en général. Ca marche aussi pour , par contre tu ne peux rien faire de si tu n'as pas la commutativité, puisque si l'anneau n'est pas commutatif.

  7. #6
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Merci pour cette nouvelle réponse.

    Du coup, je n'hésiterai plus à passer si je rame vraiment sur un problème. Bien fait pour vous

    Bonne soirée

  8. #7
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Grâce à vous, je pense avoir bien mieux compris mon cours (), mais je me retrouve à nouveau bloqué à la toute dernière question de mon devoir :


    (désolé pour la traduction foireuse de mon énoncé)
    On considère une fois encore la construction des nombres complexes par les réels : soit K un corps et a compris dans K. Sur l'ensemble K x K on définie 2 opération binaires + et . telles que :

    (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)
    (x1, y1).(x2, y2) = (x1x2 + ay1y2, x1y2 + x2y1)


    On me demande de montrer que les deux propositions sont équivalentes :
    i) a n'est pas un carré <==> il n'existe pas de B dans K tel que a = B²
    ii) K x K est un corps.
    (sachant que j'ai déjà prouvé que K x K faisait un anneau unitaire avec ces deux opérations)

    Je pars de la deuxième proposition (je sais que je dois aussi procéder dans l'autre sens) :

    pour tout (x, y) dans K x K, on doit avoir un (x', y') tel que
    (x, y).(x', y') = (1, 0)

    <==>

    ->xy' + x'y = 0 <==> (x/y) = -(x'/y') <==> (x', y') = (kx, -ky) avec k réel

    ->xx' + ayy' = 1 <==> k (x² - ay²) = 1

    Et c'est là que je bloque : si a = B², on peut écrire
    x² - (By)² = 1/k

    Evidemment, je pense à utiliser une identité remarquable, mais je ne vois pas où ça peut me mener, si ce n'est en utilisant les domaines des différentes variables...

    Sinon, je pensais pourvoir dire que la forme au dessus entraînait que
    |By| < |x|, mais rien n'empêche k d'être négatif.

    Ainsi, je bloque. Jusqu'à un certain point, mon raisonnement me semble logique, mais, comme vous pouvez le voir, il ne mène à rien.

    Pour ce qui est du raisonnement dans l'autre sens, je ne vois même pas par où commencer (je pensais trouver grâce à l'autre sens.....)

    Donc, si quelqu'un a une idée pour me sortir (à nouveau) de la mouise, merci d'avance

    Et

  9. #8
    invitebe0cd90e

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Je pense que tu es parti comme il faut, il faut quand meme veiller a ce que y, y' soient non nuls pour pouvoir diviser, et attention ! k n'est pas reel mais seulement un element de K, sur lequel on ne sait rien a priori.

    C'etait peut etre plus simple de remarquer que


    Etait une equation linéaire d'inconnues x' et y'. Ce systeme admet une unique solution si le determinant de la matrice associé est non nul (ce qui revient exactement au meme que ce que tu as fait) cad si . Et il faut que ca soit vrai pour tout $x,y$ de K. Or, si a est un carré, le determinant peut etre nul, il suffit de prendre x=By. Sinon c'est impossible, et l'inverse existe toujours.

    Remarque au passage : en principe, un corps est toujours commutatif, donc les identités remarquables "habituelles" fonctionnent.

    J'admet que ca n'est pas totalement evident que ces histoires de matrices et de determinant marchent avec un corps quelconque, mais tu peux refaire le raisonnement "a la main", ca permet seulement de guider la preuve et d'alleger la demo. Mais l'idée maitresse reste que chercher un inverse, c'est resoudre une equation, cad dans ton cas exprimer x' et y' en fonction de x et y. C'est ce que tu as cherché a faire, il fallait pousser jusqu'au bout

  10. #9
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Merci pour cette nouvelle réponse

    Néanmoins, nous n'avons pas vu les déterminants de matrices. Je suis passé sur wiki (http://fr.wikipedia.org/wiki/Détermi....27une_matrice), mais je ne comprends pas la formule. De toute façon, il doit y avoir un moyen autre de trouver la solution vu l'avancement du cours.

    Puis-je obtenir la relation que tu m'as donnée (comment écrit on en "maths" par ailleurs?) en "jouant" avec le système d'équations? la présence de x' et y' me semble problématique...

    Merci d'avance

  11. #10
    Médiat

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    il suffit de te demander si (B, 1) admet un inverse
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #11
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Ah, je suis limite deg, ça me semble tout con maintenant.

    Juste pour vérifier que je fonce pas dans le mur, a est compris dans K, donc B.B (si il existe) l'est aussi. 1 est l'élément neutre de la "multiplication", donc il doit aussi être dans K. Ainsi, (B, 1) est dans K x K.

    Or, en factorisant par B, on se rend compte que le système d'équation est impossible à résoudre avec (B, 1). J'ai bon?


    Et merci

  13. #12
    invitebe0cd90e

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Certes, Mediat, mais il ne me semble pas que ca te donne l'equivalence, seulement un sens.

    PLBD> Desolé, je pensais qu'on voyait les matrices avant les anneaux Le determinant sert juste a "tester" si un systeme d'equation lineaires a plusieurs variables admet une solution, en gros.

    Donc oui, tu peux t'en apsser comme je te le disais, et c'est plus ou moins ce que tu faisais. Il ne faut pas oublier qu'il y a des coefficients fixés (x,y,a) et des variables/inconnues (x',y'). Ensuite je pense que tu sais resoudre un systeme de deux equations a deux inconnues, il suffit de le faire ! c'est un peu fastidieux a ecrire, mais tu devrais te retrouver avec un truc ou quelque part tu divises par ce que j'ai appellé le determinant (et tu n'en etais pas loin), et c'est pour ca que les choses marchent ssi il est non nul.

  14. #13
    Médiat

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    Certes, Mediat, mais il ne me semble pas que ca te donne l'equivalence, seulement un sens.
    Absolument, j'aurais du préciser que je répondais à :
    Pour ce qui est du raisonnement dans l'autre sens, je ne vois même pas par où commencer
    C'est à dire le sens ii => i, puisque tu avais répondu à l'autre sens
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #14
    Médiat

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Une façon naturelle de prolonger cet exercice (c'est d'ailleurs sa motivation) dans le cas où a n'est pas un carré dans K, est de remarquer (c'est trivial) que K est isomorphe à K x {0}, et que dans K x K (qui est donc un corps) (a, 0) et donc a (par l'isomorphisme et un léger abus de langage) est un carré.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  16. #15
    invitebe0cd90e

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Absolument, j'aurais du préciser que je répondais à :

    C'est à dire le sens ii => i, puisque tu avais répondu à l'autre sens
    D'accord, mais en principe ce que je propose fait les deux sens, non ?

  17. #16
    Médiat

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    D'accord, mais en principe ce que je propose fait les deux sens, non ?
    Bien sur, tu as parfaitement raison, j'étais parti, sans réfléchir, sur l'idée que tu continuais le début de démonstration de PLBD, pour le sens ii => i.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #17
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Merci à vous deux pour vos réponses

    C'est trop con pour les équations, j'avais pas penser à éliminer une des variables pour exprimer l'autre en fonction des données
    (ça m'apprendra à faire mes DMs à 2 heures du mat alors que je suis même pas en retard )

    Dans le doute, je vais utiliser les deux méthodes différentes pour les deux sens, ça fera plus classe

    Bon, j'y retourne, et merci de m'avoir aidé à (enfin) voir plus clair dans mon cours

    Bonne journée

  19. #18
    ichigo01

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Bonjour à tous !

    Comme ce sujet existe sur le forum je pose ma question sur la meme discussion :

    si a et b appartiennent à R est ce qu'on peut dire que a+b appartient aussi à R et meme chose pour ab et ab(a+b)
    parce que si c'est le cas alors je peux l'utliiser pour déduire que ab(a+b) = 0


    merci d'avance pour votre aide !

  20. #19
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Tu veux dire à l'ensemble des rééls? Dans ce cas, je pense que oui vu que seuls les complexes sont en dehors de cet ensemble (ou en utilisant la déf du corps avec l'addition et la multiplication).
    Après, je suis pas sûr


    Sinon, tant que j'y suis , j'avais un exo où on devait montrer que si pour tout a, b ∈ A et λ ∈ K λa + (1 − λ)b ∈ A avec A sous ensemble de V, alors A était un vectoriel affin(e?). Je l'ai montré, mais on me demande aussi de l'interpréter géométriquement, et là, je vois pas trop quoi dire à part ce qui est dans mon cours (translation de vecteur).

    Merci d'avance et bonne journée

  21. #20
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Et j'oubliais, existe-t'il un corps à 4 éléments? J'ai un peu cherché sur internet et il semblerait que oui, mais j'ai rien compris ça ce que racontaient les types.

    Sinon, je suis tombé sur les corps finis, mais c'est pas clair non plus.

    En supposant qu'on corps à 4 éléments existze, quel peut être le 4ème élément, une opération ou un autre ensemble? merci

  22. #21
    Flyingsquirrel

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par PLBD Voir le message
    Et j'oubliais, existe-t'il un corps à 4 éléments? J'ai un peu cherché sur internet et il semblerait que oui, mais j'ai rien compris ça ce que racontaient les types.
    Par exemple et vérifie . Avec ces deux lois on obtient les deux tables suivantes pour l'addition et la multiplication.

  23. #22
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Donc, si je comprends bien, par 4 éléments, on veut dire un ensemble de 4 éléments + les deux opérations, c'est ça?
    (c'est une question optionelle dans un DM, on ne nous a pas expliqué)

    Merci en tout cas

  24. #23
    Flyingsquirrel

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Citation Envoyé par PLBD Voir le message
    Donc, si je comprends bien, par 4 éléments, on veut dire un ensemble de 4 éléments + les deux opérations, c'est ça?
    Oui.

  25. #24
    invite811963fc

    Re : [L1]Besoin d'explications sur les structures algébriques

    Ok, ça roule

    Et, euh, pour la fin de la première page du topic :siffle:

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