conique
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conique



  1. #1
    inviteaaa26f50

    conique


    ------

    Salut à tous, je bloque sur un exo :
    Soit E une ellipse de centre o et de foyers F et F'. Soit a le demi grand axe et c=OF. Montrer que M est sur E ssi :
    MF.MF'+OM²=2a²-c²

    J'ai commencé en disant :
    MF = e.MH
    MF'= e.MH'

    => MF.MF'=e(MF.MF')

    Mais je ne sais pas si jsuis bien parti ..

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : conique

    Je ne sais pas d'où vient ce MF = e MH mais pour un cercle c'est manifestement faux (e=0).
    Tu peux écrire que MF + MF' = 2a, élever au carré et écrire que MF²=(x+c)²+y² et pareil pour MF'²
    Tu développes l'expression de MF.MF' et tu trouves ce que tu cherches.

  3. #3
    invite23ea94ea

    Re : conique

    Je ne sais pas si la définition bifocale de l'ellipse

    (a longueur du grand axe) est supposée acquise, mais avec on y arrive assez facilement en l'élevant au carré:


    ...

  4. #4
    inviteaaa26f50

    Re : conique

    oui, elle est suposée acquise.



    après on prend les valeurs a et c pour terminer ?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    inviteaaa26f50

    Re : conique

    je vois pas trop comment tu continu ...

  7. #6
    invite23ea94ea

    Re : conique

    Citation Envoyé par lewis72 Voir le message
    oui, elle est suposée acquise.



    après on prend les valeurs a et c pour terminer ?
    Le premier est à développer (pour FM et F'M) mais le deuxième à garder puisqu'il fait partie de ta formule à trouver... Sinon tu fais comme l'a dit JeanPaul sans passer par des vecteurs en exprimant directement en x et y

  8. #7
    inviteaaa26f50

    Re : conique

    faut que je dvl FO et F'O c'est çà ?

  9. #8
    Jeanpaul

    Re : conique

    Ecris que MF + MF' = 2a, calcule le carré, tu trouves que
    2 MF.MF' = 4 a² - MF² - MF'²
    Tu vois que MF² = (x+c)² + y²
    Développe et c'est bouclé.

  10. #9
    inviteaaa26f50

    Re : conique

    Citation Envoyé par Jeanpaul Voir le message
    Ecris que MF + MF' = 2a, calcule le carré, tu trouves que
    2 MF.MF' = 4 a² - MF² - MF'²
    Tu vois que MF² = (x+c)² + y²
    Développe et c'est bouclé.
    Je suis d'accord pour tout, c'est juste le (x+c) qui me chagrine. Si F(c,0) et M(x,y) alors çà fait (c-x)², non ?

  11. #10
    Jeanpaul

    Re : conique

    Mais si F(-c,0), ça fait (c+x)² !

  12. #11
    inviteaaa26f50

    Re : conique

    MF² = (x+c)²+y² = x²+2cx+c²+y²
    MF'² = (c-x)²+y² = x²-2cx+c²+y²

    2MF*MF'=4a²-MF²-MF'²
    2MF*MF'=4a²-2x²-2c²-2y²
    MF*MF'=2a²-c²-x²-y²
    MF*MF'+(x²+y²)=2a²-c²
    or M(x,y), donc OM²(x²,y²)
    d'où, MF*MF'+OM²=2a²-c²

    merci à vous deux

  13. #12
    mx6

    Re : conique

    Oui en effet, je l'avais résolu de la même manière aussi

    Ce résultat est aussi appelé : Définition tri-focale de l'ellipse.

    Bonne soirée

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