Aire d'une sphère par intégrale

Texanito · 19/12/2009 - 12h14

Bonjour,

J'ai manifestement fait une erreur de calcul mais je n'arrive pas à la trouver :

Je considère une demi-sphère, puis un petit triangle isocèle dont le sommet est confondu avec le sommet de la demi-sphère et la base est une partie de la section de la DS.

La hauteur du triangle vaut $\frac{\pi R}{2}$ et sa base vaut $dx$ . Ce triangle a une aire $A=\frac{\pi R}{2}dx$
J'addition plusieurs petits triangles jusqu'à faire le tour de la DS ce qui me donne:

$\int_0^{2\pi R}\frac{\pi R}{2}dx = \pi^2R^2$

Donc je trouve qu'une sphère a un volume $V=2(\pi R)^2$

C'est dommage, deux de mes termes ne collent pas à la vraie formule

Une idée ?

mécano41 · 19/12/2009 - 15h30

Bonjour,

En raison de la symétrie, tu peux calculer la surface d'un huitième de sphère :

- regarde le schéma joint
- exprime la petite surface ds
- intègre sur $\beta [0\ ,\ \frac{\pi}{2}]$ et sur $\theta[0\ ,\ \frac{\pi}{2}]$
- multiplie par 8

Cordialement

Texanito · 19/12/2009 - 19h46

Pourquoi calculer le 8ème d'une sphère en passant par des coordonnées sphériques !?

A la limite je veux bien mais j'aimerais aussi comprendre pourquoi mon raisonnement me donne un faux résultat

Duke Alchemist · 19/12/2009 - 21h35

Bonsoir.

Envoyé par Texanito

... La hauteur du triangle vaut $\frac{\pi R}{2}$ ...

D'où cela vient-il ? (question bête, je le sens

)

et sa base vaut $dx$ . Ce triangle a une aire $A=\frac{\pi R}{2}dx$

OUPS !
Pour l'aire de ce triangle il te manque un 2 (au dénominateur), si tu prends les expressions que tu as proposées.
$A=\fr {b\times h}2$

Duke.

Universus · 19/12/2009 - 21h47

Envoyé par Duke Alchemist

OUPS !
Pour l'aire de ce triangle il te manque un 2 (au dénominateur), si tu prends les expressions que tu as proposées.
$A=\fr {b\times h}2$

En effet, mais cela ne corrige pas le fait qu'il y a un $\pi ^2$ dans l'expression de l'aire de la demi-sphère. Sinon, texanito parle d'un 'triangle courbe' et donc la 'hauteur' de ce triangle correspond au quart de la circonférence d'un grand cercle.

Duke Alchemist · 19/12/2009 - 22h03

Merci Universus de ces précisions.

Je n'ai étudié que la géométrie euclidienne dans mon cursus et ne me suis que très peu lancé dans la topologie mais l'aire d'un triangle courbe se calcule-t-elle de la même manière qu'un triangle plan ?
Si c'est une (autre) question bête

Sinon par les coordonnées sphériques cela se fait en trois coups de cuillères à pot

... Serait-ce la raison pour laquelle elles portent ce nom ?

(je précise que je connais la réponse à cette question là

)

Duke.

Texanito · 19/12/2009 - 22h13

Bah je pense que l'aire est la même car si on découpe ce petit triangle courbe dans une sphère en papier on pourrait parfaitement l'étaler sur la table et avoir un triangle tout ce qu'il y a de plus normal

Effectivement j'avais oublié le 2 au dénominateur dsl

Mais comme universus la dit, c'est le pi qui me chiffone le plus xD

Universus · 19/12/2009 - 22h16

Le problème me semble surtout être que tu considères que la superficie de ''triangles sphériques'' est donnée par la même formule que pour des ''triangles euclidiens''. Si on nomme $L = \frac{\pi R}{2}$ et $ds$ ce que tu as appelé $dx$ ( $ds = R d\theta$ , $\theta$ étant l'angle au sommet d'un triangle sphérique ou, de façon équivalente, de sa projection sur le plan contenant le grand-cercle frontière de la demi-sphère), on doit obtenir pour l'aire d'un infinitésimal triangle sphérique $dA - \frac{2L}{\pi}ds$ alors que tu as (suite à la correction de l'aire d'un triangle par Duke Alchemist) $dA = \frac{L}{2}ds$ . Clairement, il y a un problème et cela est dû à la géométrie de la sphère qui est différente de la géométrie euclidienne.

J'essaie de me redériver l'équation permettant de calculer la superficie d'un solide de révolution, mais bon quand on apprend des techniques plus générales et plus pratiques, on oublie

Une bonne technique pour trouver la superficie d'une sphère est de passer par les coordonnées sphériques. Alors là, tu peux calculer directement la superficie ou, sinon, calculer le volume et dériver cette expression par rapport au rayon de la sphère pour trouver son volume. Autrement, vu que je sais que tu cherches à comprendre spécifiquement où se trouve ton erreur dans ta démarche, peut-être devrais-tu regarder l'équation générale des superficies de surfaces paramétrées lisses, donnée par la relation

$A = \int_D \int \sqrt{1 + (z'_x)^2 + (z'_y)^2}dA$

où z est la fonction hauteur de la surface en fonction des coordonnées x et y et dA est dx.dy ou dy.dx selon le choix utilisé. D est la projection de la surface d'aire A sur le plan Oxy (pour trouver cette formule il faut passer par un peu de calcul vectoriel). Sinon, je cherche toujours (sans aller jeter un oeil dans mes livres) comment retrouver l'aire d'un solide de révolution, alors là tout s'expliquerait pour les triangles courbes.

Bruno · 19/12/2009 - 22h17

Je ne comprend pas : on parle d'aire ou de volume pour finir ?

Texanito · 19/12/2009 - 22h20

Il est question d'aire depuis le début

Oki bah je crois que je devrai attendre un peu pour comprendre la démonstration de cette formule car je ne connais ni les double intégrales ni le calcul en coordonnée sphérique

Duke Alchemist · 19/12/2009 - 22h21

Envoyé par Texanito

Bah je pense que l'aire est la même car si on découpe ce petit triangle courbe dans une sphère en papier on pourrait parfaitement l'étaler sur la table et avoir un triangle tout ce qu'il y a de plus normal

Si je considère un angle au sommet de 90°, les autres angles valent 90° aussi... genre "triangle tout ce qu'il y a de plus normal", bof

Délire du soir... bonsoir.

EDIT : Eh ben voilà je savais bien qu'il y avait un bug de géométrie euclidienne/non-euclidienne. Merci Universus

Bruno · 19/12/2009 - 22h25

Envoyé par Texanito

Il est question d'aire depuis le début

Hum, dans ce cas je ne vois pas où se trouve ton triangle isocèle. Avec un dessin ça irait mieux

Sinon sans passer par les coordonnées sphériques, suffit d'intégrer les périmètres de cercles de la base jusqu'au sommet.

Texanito · 19/12/2009 - 22h30

Envoyé par Duke Alchemist

Si je considère un angle au sommet de 90°, les autres angles valent 90° aussi... genre "triangle tout ce qu'il y a de plus normal", bof

Délire du soir... bonsoir.

EDIT : Eh ben voilà je savais bien qu'il y avait un bug de géométrie euclidienne/non-euclidienne. Merci Universus

Et alors ? C'est pas interdit un triangle rectangle xDD

EDIT : connaissez vous un programme pour faire de jolis schémas comme mécano41 ??

Universus · 19/12/2009 - 22h36

Par exemple, ici $z(x,y) = \sqrt{R^2 - x^2 - y^2}$ . Je vais 'tricher' un peu en me permettant de passer par les coordonnées cylindriques (ou polaires), sans aller jusqu'aux coordonnées sphériques (qui, soit dit en passant, sont parfaitement pour l'étude des sphères vu que c'est conçues pour prendre avantage à fond des symétries de la sphère ^^), on a donc $z(r, \theta) = \sqrt{R^2 - r^2}$ . On a avant tout $z'_x = \frac{-x}{z}$ et $z'_y = \frac {-y}{z}$ . En passant par les coordonnées polaires, on a :

$z'_x = \frac{-r \cos \theta}{z}$ et $z'_y = \frac{-r \sin \theta}{z}$

Ainsi, en n'oubliant pas le jacobien dans le changement de variables pour le calcul de dA :

$A = \int_D \int \sqrt {1 + \frac{r^2}{z^2}}r dr d\theta = \int_D \int \sqrt {1 + \frac{r^2}{R^2 - r^2}}r dr d\theta$

Soit $A = \int^{2\pi}_0 \int^R_0 \sqrt {\frac{R^2}{R^2 - r^2}}r dr d\theta = \int_D \int \frac {1}{\sqrt {1 - \frac{r^2}{R^2}}}r dr d\theta = (\int^{2\pi}_0d\theta)(\int \frac {1}{\sqrt {1 - \frac{r^2}{R^2}}}r dr)$

La dernière étape est justifiée par le fait que l'intégrande est indépendante de l'angle. L'intégrale en r se fait assez bien avec deux changements de variables (je fais les changements de variables personnellement ^^) et donne $R^2$ .

Disons donc que plus généralement, on a $A(\theta) = R^2 \int^{\theta}_0 d\theta = \theta R^2$ . Pour une demi-sphère, on a le résultat souhaité. Pour un triangle sphérique infinitésimal, on aurait $dA = R^2 d\theta$ . Clairement, la géométrie sphérique diffère de la géométrie euclidienne, mais ce n'est pas trivial de quelle façon (d'où mon intérêt à retrouver le cas spécifique des solides de révolution ^^)

Universus · 19/12/2009 - 22h46

Envoyé par Bruno

Hum, dans ce cas je ne vois pas où se trouve ton triangle isocèle. Avec un dessin ça irait mieux

Sinon sans passer par les coordonnées sphériques, suffit d'intégrer les périmètres de cercles de la base jusqu'au sommet.

Tu as raison, mais texanito a, je pense, son intérêt aussi dans un calcul de l'aire d'une demie-sphère qui passe implicitement par les coordonnées cylindriques puisque texanito utilise la symétrie de la demie-sphère par rotation autour d'un axe disons ici vertical. Les triangles en question sont les triangles ayant pour sommet le sommet de la demie-sphère et pour base un petit élément de la circonférence du grand cercle, mais les triangles sont entièrement contenus sur la surface de la demie-sphère (bref, les deux autres côtés des triangles sont des quarts de circonférence de grands cercles de la sphère totale).

On peut procéder néanmoins comme tu dis en posant :

$A = \int^R_0 2\pi r \sqrt{1 - (z'_r)^2}dr$ , le radical étant de souvenir pour avoir déjà eu la réflexion de texinito important puisqu'il prend en compte le fait qu'on ne coupe pas la sphère est des ''anneaux'' ou ''tubes'' qui ont la même hauteur.

Edit : Pour texanito, dans mon message précédent, le jacobien n'est que le r seul dans l'intégrale, alors à moins que ça t'intéresse, ne sois pas trop impressionné si c'est le cas par le terme 'jacobien' ^^