Série entière et équation differentielle

chentouf · 02/01/2010 - 18h51

Bonsoir à tous :

Dans toute la suite : $m$ étant un entier fixe.
Soient : $a_1 , ... , a_m \in \mathbb{R}$ :
On pose :
$\forall n \geq 0$ :
$u_{n} = \displaystyle \sum_{i \geq 1}^{m} a_{i}^{n}$
Quelle est l'équation differentielle qui met en lien $f$ , $f'$ et probablement d'autres $f^{(n)}$ avec $n \geq 2$ telle que :
$f(x) = \displaystyle \sum_{n \geq 0} u_{n} \frac{x^{n}}{n!}$
Un exemple qui ressemble un peu à celà, pour vous comprenez de quoi je parle :
Soit $f$ une serie entière definie par : $$f(x) = 1 + x^2 + \displaystyle \sum_{n \geq 2} 2^2.4^2\ldots(2n-2)^2 \frac{x^{2n}}{(2n)!}$$ .
Alors $$f'(x) = 2x + \displaystyle \sum_{n \geq 2} a_{2n-1} x^{2n-1}$$ avec $$a_{2n-1} = \frac{2^2.4^2\ldots(2n-2)^2}{(2n-1)!}$$
On a : $\forall n \geq 2 \ \ \ , \ \ \ (2n+1)a_{2n+1} = 2na_{2n-1}$ , donc, pour tout élément $x \in $]-1;1[$$ :
$\displaystyle \sum_{n\geq2} (2n+1)a_{2n+1}x^{2n} = \displaystyle \sum_{n\geq2} 2na_{2n-1} x^{2n} = x^2 \displaystyle \sum_{n\geq2} (2n-1)a_{2n-1} x^{2n-2} + x \displaystyle \sum_{n\geq2} a_{2n-1} x^{2n-1},\]$
c'est-à-dire
$f''(x) - 2 - 3a_3x^2 = x^2[f''(x)-2] + x[f'(x)-2x]$
et, compte-tenu de $a_3 = 2/3 \ \, \ \ f'$ est solution sur $]-1;1[$ de l'équation différentielle
$(1-x^2)y' - xy = 2(1 - x^2).$
Merci d'avance !

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