Bonjour
En regardant un doc au télé , un physicien a parler de l'intersection de deux droites a l'infini comme un résultat mathématique ;mais j'ai pas trouver une démonstration pour ce résultat.
mais est ce que c'est vrai ce qu'il dit?et si oui ou je peux trouver la démonstration?Merci.
Slt
"La phrase "Deux droites parallèles se rejoignent à l'infini" n'est pas un théorème. De plus, un théorème invérifiable, ça n'existe pas, car par nature, un théorème se démontre.
Dire que deux parallèles se rejoignent à l'infini, c'est une façon (très) maladroite de dire qu'elles ne se coupent pas. Si on part de deux droites sécantes, on peut définir un angle entre les deux. Si on diminue progressivement la valeur de cet angle, on s'aperçoit que le point d'intersection s'éloigne de plus en plus, au fur et à mesure que l'angle s'approche de zéro. On retrouve l'idée de limite : la limite de la distance du point d'intersection est égale à l'infini, car cette distance tend vers l'infini quand l'angle tend vers zéro.
Après, est-ce vérifiable ? Oui et non, car cela dépend du type de géométrie qu'on utilise. Le fait de dire que deux parallèles ne se coupent pas est un axiome, pas un théorème. Un axiome est une propriété invérifiable que l'on considère comme vraie. Et partant de là, on en déduit des théorèmes.
Les parallèles qui ne se coupent pas, c'est de la géométrie euclidienne. C'est la géométrie plane que l'on apprend à l'école, et qui dit par exemple, que si on a une droite et un point extérieur à cette droite, alors il passe par ce point une droite (et une seule) parallèle à la droite de départ. Mais rien n'interdit de partir d'axiome différents, et de dire qu'on peut tracer une infinités de droites parallèles différentes qui passent par ce point. On obtient alors une géométrie non euclidienne.
Mais, me dira-t-on, c'est khon tout ça, ON VOIT BIEN que par le point extérieur il ne peut passer qu'UNE SEULE parallèle ! C'est évident ! Je répondrai : du flan ! Rien n'est évident ! Les résultats de la géométrie euclidienne plane ne sont pas applicables, par exemple, sur la surface de la Terre qui n'est pas plane mais sphérique. Si on trace un grand triangle, et qu'on fait la somme des angles, on trouvera toujours plus que 180°."
En géométrie projective, deux droites se coupent toujours, éventuellement "à l'infini". Le plan projectif est formé de la réunion du plan euclidien classique, plus les points à l'infini, qui sont en bijection avec les classes d'équivalence des droites pour le parallélisme.
C'est probablement le bon cadre pour parler rigoureusement de ce genre de choses.
Considéron le cercle trigonometrique..
avec la droite tg au cercle qui se situe a droite
lorsqu'on dessine un angle , lintersection de lhypotenus avec la droite tg nous donne la valeur de la tg de cet angle...
lorque cet angle augmente, la valeur de la tg augmente, plus cet angle se rapproche de 90° est plus lintersection est eloignée...on en déduit que 2 droites paralleles se coupent mais a l'infini
bonjour
"plus cet angle se rapproche de 90° est plus lintersection est eloignée",alors si l'angle est egale exactement à 90°.Est ce que je peux dire il n y a pas intersection,meme à l'infinie?
Tout dépend dans quel cadre tu te place.
Le cadre ou deux droites parallèles se coupent à l'infini (qui est alors un point comme un autre) est celui de la géométrie projective, qui est différente de la géométrie euclidienne classique
http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9...rie_projective
En géométrie euclidienne classique, deux droites parallèles ne se coupent pas.
Salut,
l'expression « à l'infini » se veut suggestive, ni plus ni moins.Envoyé par mslm
Il n'y a d'ailleurs pas plus d'infini en géométrie projective qu'en géométrie euclidienne (pour les sceptiques, aucune droite n'a le privilège d'être « à l'infini », ou plutôt : n'importe quelle droite peut être considérée « à l'infini »).
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
Salut
Martini_Bird, j'ai beaucoup de mal à cerner ce que tu veux de dire ici :S. c'est certe vrai, mais subjectif et assez "embrouillant" je trouve. Le plan projectif est quand même munie d'un repère projectif canonique et ce repère défini bien une "droite à l'infinie" et dire que deux droite projective (non confondu) sont parallèle est équivalent à dire que leur unique point d'intersection est à l'infini.
Tous sa pour dire, que si on suis le point de vue que tu défend alors la notion de droite parallèle n'existe pas et tous le sujet n'a aucun sens.
pour répondre à la question, ce à quoi le physicien fait référence est effectivement la géométrie projective (cf http://fr.wikipedia.org/wiki/G%C3%A9...rie_projective pour plus de détail). Le plan projective est composé du plan classique, plus d'un certain nombre de point à l'infinie (qui forme une droite projective) et les droite projectives vérifie :
par deux point il passe une et une seul droite projective.
deux droite projectives non confondu ce coupe en un unique point (qui est à l'infini si et seulement si elles sont parralèlle)
pour une définition précise du plan projectif (neccessaire pour vraiment comprendre de quoi on parle) cf wikipédia.
Salut,
Pour être plus concret, dans P²R par exemple, je ne vois pas en quoi la droite z=0 (i.e. les points de coordonnées (x : y : 0) à homothétie près) aurait plus le privilège de s'appeler droite à l'infini, usage mis à part. Et de toute façon, il y a une infinité de façons de plonger un espace affine dans son espace projectif associé.Le plan projectif est quand même munie d'un repère projectif canonique et ce repère défini bien une "droite à l'infinie" et dire que deux droite projective (non confondu) sont parallèle est équivalent à dire que leur unique point d'intersection est à l'infini.
L'embrouille vient de ce que le parallélisme est une notion vectorielle avant d'être une notion affine ou une notion projective. Et il n'y a nullement besoin d'infini pour définir le parallélisme (et j'ai envie de dire : surtout pas !).Tous sa pour dire, que si on suis le point de vue que tu défend alors la notion de droite parallèle n'existe pas et tous le sujet n'a aucun sens.
Cordialement.
Dernière modification par martini_bird ; 11/05/2010 à 08h07.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
il y a d'une part l'usage, et d'autre part l'interprétation qu'on en fait !
on ne fais pas de la géométrie projective pour le plaisir d'en faire en général, mais pour donner un nouveau point de vue sur des problème de géométrie classique, dans lequel la notion de parallélisme peut intervenir ! (et comme je l'ai dit, la traduction de "parallèle" en géométrie projective est exactement "confondu ou l'ensemble des point d'intersection est à l'infini" ) et notamment quand un physiciens en parle la plan projectif, c'est quelque chose qui contiens de façon canonique le plan affine.
et le parallélisme n'est pas une notion vectorielle avant d'être une notion projective : enfaite ce n'est même pas une notion projective !
pour définir le parallélisme dans l'espace projectifs on a justement besoin de la notion d'infini (enfin la notion de parallélisme et la notion d'infini sont équivalente, ca correspond à la notion de choix d'un repère projectif à transformation affine près...)
Si tu refuse de choisir une droite arbitraire et de dire "c'est la droite à l'infinie" alors on ne peut pas parler de droite parallèle.
Salut,
Pardonne-moi, je n'ai pas saisis ce que tu voulais dire.
Mouais, la géométrie projective ne se résume heureusement pas qu'à démontrer les théorèmes de Pappus/Desargues et cie...
Canoniquement, certes, mais pas de façon unique, c'était l'objet de ma remarque.
Le parallélisme est une notion vectorielle : deux droites sont parallèles si elles ont la même direction. Cependant, tu as raison, car les droites étant réduites à des points dans l'espace projectif, le parallélisme doit être redéfini dans ce cadre, ce que tu décris dans la suite de ton message.
Enfin, je voudrais simplement insister à nouveau (et c'était le sens premier de mes messages, maladroitement rédigés, je veux bien en convenir) sur le fait que l'infini (avec la panoplie de fantasmes qu'il peut engendrer chez tout être curieux, et contre lesquelles j'avoue me rebeller) n'a pas grand chose à voir avec ces questions de géométrie. Car, malgré tout, les espaces projectifs sont compacts !
Cordialement.
« Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca
Le fil était sérieux jusqu'au message #12 où il a basculé dans l'ésotérisme et le n'importe quoi qui consiste à aligner des mots en espérant qu'un sens s'en dégage. Malheureusement, ça ne marche pas comme ça.
Pour une fois que je peux faire personnellement du bien à la science, j'en profite !
Fil fermé.
Not only is it not right, it's not even wrong!
