Origine et puissance du produit scalaire

[jean3244]

Récemment j'ai relu des démonstrations de formules trigo telles cos(a+b)...................... .....
J'ai pu alors constater la puissance de démonstration du produit scalaire.
Suite à cela , je voudrais savoir qui en a eu l'idée (un physicien?)
sa place dans l'histoire des mathematiques.
Si quequ'un pouvait aussi m'en dire le sens général lié sans doute aux formules bilinéaires symétriques.
En résumé me replacer le produit scalaire dans lle contexte mathématique.

Merci

[Sephi]

Un produit scalaire (ou plus généralement, un produit intérieur (inner product)), c'est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur deux espaces vectoriels.

Je pense bien que c'est une notion qui est utilisée depuis plusieurs siècles déjà, mais la définition moderne (en tant que forme bilinéaire sur des esp. vectoriels) découle forcément de la définition d'un esp. vectoriel. Or la 1ère définition moderne d'un esp. vectoriel a été formulée par Peano en 1888 dans son bouquin Geometrical Calculus. Donc ça m'a l'air tout récent ...

[martini_bird]

Salut,

Il me semble que l'on trouve pour la première fois la notion de produit scalaire dans les travaux de Hamilton sur les quaternions (1843).
Plus qu'à Peano, il me semble que l'on doit surtout à Grassman la formalisation moderne des espaces vectoriels (autour de 1860-70, je crois).

Bon, je reviens avec des réfs plus précises.

Cordialement.

[Sephi]

Effectivement, Grassmann y est pour beaucoup. Un extrait de la biographie de Peano dit :

A more significant feature of the book is that in it Peano sets out with great clarity the ideas of Grassmann which certainly were set out in a rather obscure way by Grassmann himself. This book contains the first definition of a vector space given with a remarkably modern notation and style and, although it was not appreciated by many at the time, this is surely a quite remarkable achievement by Peano.

Peano aurait surtout fait un travail de formalisation dans un langage moderne des idées déjà travaillées par Grassmann. Ce dernier étant l'auteur de l'algèbre extérieure, on le voit mal s'être passé des produits scalaires dans toute leur splendeur

[evariste_galois]

J'ai pu alors constater la puissance de démonstration du produit scalaire.

Salut,

Qu'entends-tu par puissance de démonstration du produit scalaire?

Sinon, pour le côté historique de la chose, le terme de produit scalaire a été introduit par Hamilton. Plus généralement, la notion de produit entre deux vecteurs vient de Grassman.

Pour plus d'info, direction google .

EDIT : croisement avec les deux post précédents, désolé .

[martini_bird]

A propos de la seconde édition¹ de Die Ausdehnunglehre (1862) de Grassmann:

[...] les notions de base d'un domaine (Gebiet, qui correspond à notre notion d'espace vectoriel, ou de sous-espace vectoriel), de dimension, sont fort clairement décrites; et c'est là qu'on trouve pour la première fois la relation fondamentale entre les dimensions de deux sous-espaces vectoriels

dim V+dim W=dim(V+W)+dim(VW)

(écrite en notation mderne bien entendu).

Un peu plus loin:

Cependant, cette nouvelle édition ne semble pas avoir eu plus d'écho dans le monde mathématique que la première. Seul, en 1888, G. Peano entreprend de ressusciter l'oeuvre de Grassmann [...]

Cordialement.

1. La première édition date de 1844.

[jean3244]

Pour Evariste , j'ai déja consulté GOOGLE. mais cela ne m'a pas satisfait.

Pour la puissance de démonstration ,aurais du dire la simpliciré: par exemple pour le pythagore généralisé en 1ere S comparé a un demonstration classique plus laborieuse.

J'ai déja lu la reference Grassman en effet mais voudrait savoir pourquoi un jour on a pensé introduire le produit scalaire
et pourquoi si tard, au vu de sa simplicité d'utilisation.

[jean3244]

OK pour la dimension N
mais j'imagine qu' il a d'abord ete introduit pour n = 2 ou 3
et c'est la ma question
ou alors il a ete introduit pour n entier et ensuite ete appliqué a n = 2 ou 3?
La poule ou l'oeuf quoi

[jean3244]

Pour préciser encore ma question, le produit scalaire est un outil puissant au lycée alors qu'il est d'apparence simple.
C'est pour cela que j'aimerais connaitre sa généalogie hors de toute technicité qui ne me renseigne pas sur son sens premier.
J

[doryphore]

Tu t'es renseigné sur la notion de vecteur? Car la notion de produit scalaire est avant tout liée à la notion d'espace vectoriel et c'est dans ce cadre seulement qu'elle prend réellement du sens.
Or la création des espaces vectoriels est relativement récente par rapport à la géométrie intuitive de Pythagore ou la géométrie avec les axiomes d'Euclide.

[jean3244]

c'est Grassmann, modeste prof de lycée quii a "inventé " les vecteurs.
Ton idée est sans doute la plus simple et la plus juste.
Cela découlerait tout simplement du calcul des vecteurs.

[doryphore]

http://serge.mehl.free.fr/chrono/Grassmann.html

Voilà... Il a aussi introduit la notion de produit extérieur...

Et c'est Hamilton qui isole le concept de vecteur un peu avant...

http://serge.mehl.free.fr/anx/vecteur.html

[GrisBleu]

Salut

Ce qui est fort, c'est que maintenant, si on fait un poile de science, on se met forcement a parler de vecteur et de produit scalaire pour tout
- en mecanique classique (vitesse, force, etc...)
- en phy Q (vecteur des etats, notation de dirac)
- en traitement du signal (distribution, Fourier,..), stats, etc..
parfois avec des noms differents, mais c'est quand meme une notion centrale. C'est dingue comme on ne peut plus s'en passer.

Une question pour des gens qui ont du recul :
En general, quelle notation utilisez vous pour les vecteurs, les formes lineaires ou les matrices ? les notations "a la einstein", genre le produit d'une matrice M et d'un vecteur V , ou "a la dirac", comme le meme produit (avec une matrice diagoanlisee) . Ca doit dependre de la situation. Est ce que vous passez facilement de l'une a l'autre ? Est ce que la relativite peut s'ecrire clairement dans des notations a la dirac ?

Pour l'exemple : un jour j'ai eu une demonstration de stat (l'analyse en composante principale) fait par un professeur japonais. Hors si il y a un lieu ou la notion de "flou artistique" a un sens c'est bien les fac japes. En voulant la refaire j'ai essaye d'ecrire les vecteur et les matrices avec les notation a la einstein... 10 min plus tard ca avancait pas trop, et j'ai essaye celle de dirac (vu qu'on se servait de projecteur, c'est simple a ecrire ) et la ca a ete a toute vitesse.

A+