convergence de n!/(n^n)
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convergence de n!/(n^n)



  1. #1
    invite89ec769d

    convergence de n!/(n^n)


    ------

    Bonsoir,

    Voilà je suis depuis un moment sur cette suite : u= n!/(n^n)
    Je dois en étudier la convergence, et je ne sais pas le faire de manière proprement.

    On sait que n! tend moins vite vers +OO que n^n donc u tend vers 0.

    -----

  2. #2
    God's Breath

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Bonjour,

    Tu peux par exemple essayer de prouver que .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  3. #3
    Tryss

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Assez simple, tu majore tout les termes de la factorielle par n sauf les deux premiers :



    Donc ca tend vers 0

    Et si tu t'intéresse a la série, tu as la série de terme qui est une série de Riemann convergente, donc ta série converge

  4. #4
    invite89ec769d

    Re : convergence de n!/(n^n)

    merci beaucoup pour vos deux réponses.

    Je n'avais pas vu vu qu'on pouvait majorer n! comme ça.
    Bonne soirée

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    breukin

    Re : convergence de n!/(n^n)

    C'est effectivement une majoration très très large, mais... largement suffisante pour ce problème.

  7. #6
    inviteccee45bb

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Tu peux aussi utiliser la formule de stirling:

  8. #7
    inviteccee45bb

    Re : convergence de n!/(n^n)

    fausse manip dsl

  9. #8
    tit310

    Re : convergence de n!/(n^n)

    bonjour,

    toujours pour cette même suite,
    si on doit juste prouver l'existence d'une limite, peut on dire que grâce au calcul de un+1/un<1 alors la suite décroit, comme un>0, alors elle est décroissante, minorée, donc converge. Cela ne donne pas la limite, mais on ne me demande que de conclure à l'existence d'une limite. Est-ce correct ?

  10. #9
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Bonjour Tit310.

    Comme tu ne fis qu'appliquer des règles et que tu obtiens le résultat, pourquoi poser la question ?

    Cordialement.

  11. #10
    tit310

    Re : convergence de n!/(n^n)

    je reprends les études après 15 ans. Je n'ai pas d'aide, donc je doute un peu ... beaucoup !

  12. #11
    tit310

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Et lorsque la suite devient : Un = (n!)2/nn, comment peut on prouver l'existence d'une limite ? merci d'avance,

  13. #12
    ansset
    Animateur Mathématiques

    Re : convergence de n!/(n^n)

    pour la première question, ta réponse justifie l'existence d'une limite, c'est ce qui est demandé.
    car on ne demande pas de la calculer.

    pour la seconde, tu peux essayer la même méthode, et voir ce que cela donne.
    ou le déduire de la formule de Stirling donnée plus haut.
    Dernière modification par ansset ; 16/06/2016 à 14h05.
    y'a quelque chose qui cloche là dedans, j'y retourne immédiatement !

  14. #13
    tit310

    Re : convergence de n!/(n^n)

    j'ai déjà tenté ces deux méthodes, mais je n'arrive pas à conclure

  15. #14
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Sans tes calculs, on ne peut pas t'aider à continuer.

    Sinon, bon courage, puisque tu reprends.

  16. #15
    God's Breath

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Bonjour,

    Une méthode "dalembertienne" :



    Donc a partir d'un certain rang :



    et la suite est croissante à partir du rang .

    On en déduit :



    donc la suite diverge vers .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  17. #16
    tit310

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Merci God's breath. J'avais réussi la première partie un+1/un qui tend vers +inf, et je me doutais que la suite divergeait. Mais comme dans l'ex on me demande "par une minoration ou majoration simple de montrer l'existence d'une limite" .... je buggais !

  18. #17
    johndoex3x

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Bonjour je déterre cette discussion qui date:
    Si l'on developpe ça donne 1/n x 2/n x 3/n...... x n/n
    C est un produit de facteurs positifs tous inférieurs à 1....on peut le majorer par n'importe lequel de ses membres soit 1/n
    Est ce mon cheminement est acceptable?
    Merci.
    Pascal

  19. #18
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Oui.

    je n'ai pas vérifié, mais est-ce que ça n'a pas déjà été dit ?
    D'autres majorations sont plus intéressante pour la série associée.

    Cordialement.

  20. #19
    johndoex3x

    Re : convergence de n!/(n^n)

    Re,
    j'ai parcouru le post et j ai vu des solutions plus compliquées mais pas celle là. Merci
    Pascal

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