Relation de récurrence linéaire d'ordre 3

Seirios · 05/04/2010 - 11h52

Bonjour à tous,

Dans un calcul de déterminant d'une matrice carrée de taille n, j'ai mis en évidence une relation de récurrence : $D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}-abcD_{n-3}$ , et je cherche donc l'expression de $D_n$ en fonction de n, mais je ne vois pas très bien comment m'y prendre.

J'ai essayé d'écrire $\left( \array{D_n \\ D_{n-1} \\ D_{n-2}} \right)= \left( \array{ a & -bc & -abc \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 }\right) \left( \array{ D_{n-1} \\ D_{n-2} \\ D_{n-3}} \right) = \left( \array{ a & -bc & -abc \\ 1&0&0 \\ 0&1&0 }\right)^{n-4} \left( \array{ D_{3} \\ D_{2} \\ D_{1}} \right)$ , mais la puissance n'a pas l'air vraiment aisée à calculer...(j'avais pensé à décomposer la matrice en une somme d'une matrice diagonale et de deux matrices nilpotentes puis d'appliquer le binôme de Newton, mais les matrices ne commutent pas)

Quelqu'un aurait-il une idée ?

Merci d'avance,
Phys2

Thorin · 05/04/2010 - 12h47

Tu peux utiliser les formules générales pour déterminer les racines du polynôme $X^3-aX^2+bcX+abc$ , mais elles ne sont pas simples...

Si c'est un exo de taupe, je doute que l'on s'attende à ce que tu réussisses à résoudre une récurrence linéaire d'ordre 3 dans un cas aussi général : peut être y a t-il plus simple

blable · 05/04/2010 - 12h50

Bonjour,

si ta relation de récurrence avait été de la forme

$D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2}$ ${\color{Red} +}$ $abcD_{n-3}$ ,

Alors le problème aurait été facile à résoudre... L'avais-tu remarqué? Peut-être une erreur de signe venue du ciel?

D'autre part j'ai tenté la résolution du polynôme caractéristique d'ordre 3, mais les solutions exactes sont plus que sordides.

Désolé de ne pas apporter plus d'eau au moulin.

Bonne journée

Blable

Seirios · 05/04/2010 - 15h44

Normalement ma relation de récurrence est correcte (en tout cas elle fonctionnne pour quelques termes), et il est conseillé dans l'énoncé de chercher une relation de récurrence. Je vais tout de même revérifier mes calculs.

g_h · 05/04/2010 - 17h37

Envoyé par Phys2

mais la puissance n'a pas l'air vraiment aisée à calculer...(j'avais pensé à décomposer la matrice en une somme d'une matrice diagonale et de deux matrices nilpotentes puis d'appliquer le binôme de Newton, mais les matrices ne commutent pas)

Hello,

Tu as pensé à diagonaliser ta matrice ? Sauf erreur, le polynôme caractéristique se factorise tout seul, donc modulo quelques calculs, calculer une puissance de ta matrice est tout à fait possible... non ?

Thorin · 05/04/2010 - 17h57

Sauf erreur, le polynôme caractéristique se factorise tout seul

De quelle manière ? Mathematica m'indique des racines atrocement compliquées

g_h · 05/04/2010 - 18h13

Forcément, j'aurais du mieux lire le topic...

En effet, c'est moi qui ait fait l'erreur de signe, c'est effectivement plus compliqué.

Peut-être y-a-t-il d'autres informations sur Dn que la relation de récurrence ?

girdav · 05/04/2010 - 18h44

Peut-on avoir la matrice en question?

Seirios · 07/04/2010 - 20h11

En fait, je m'étais effectivement trompé dans mes calculs

La matrice considérée était : $\left( \array{ a & b&0 &...&0 \\ c &a& \ddots& .&. \\ 0&c&a& \ddots & . \\ & \ddots & \ddots & \ddots & b \\ 0 &...&0& c&a } \right)$ , et la relation de récurrence est en fait $D_n= a D_{n-1} -bc D_{n-2}$ , donc une relation linéaire d'ordre que l'on sait traiter.

En passant, vous savez comment faire les trois points verticaux dans les matrices en LaTeX ? (et horizontaux, ceux que j'ai mis ne sont pas géniaux...)

God's Breath · 07/04/2010 - 20h28

Bonjour,

Pour les points horizontaux : \dots ou \ldots
pour les points verticaux : \vdots

Seirios · 07/04/2010 - 21h56

C'est plus joli comme ça : $\left( \array{a & b &0& \dots &0 \\ c&a&b & \ddots&0 \\0&c&a& \ddots& \vdots \\ \vdots&\ddots & \ddots & \ddots &b \\ 0 &\dots&0&c&a} \right)$ . Merci