Lemme de Riemann - Lebesgue

Armen92 · 15/05/2010 - 18h14

Bonsoir,
Je cherche une démonstration élémentaire du fait que si $f(x)$ est absolument intégrable sur $\mathbb R$ , sa transformée de Fourier $F(k)=\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm e}^{{\rm i}kx}f(x) {\rm d}x$ tend vers zéro à l'infini.

Il est facile de montrer que :
$|F(k)|\le\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)-f(x+\frac{\pi}{k})| {\rm d}x$
mais ensuite, que dire, que faire ?...

Merci d'avance pour toute idée

invité786754634567890 · 16/05/2010 - 04h39

Bonjour,

il doit y avoir des astuces dans la littérature..... sinon il me semble que la propriété voulue est évidente pour des fonctions lisses à support compact, puis on raisonne par densité de $C_0^\infty (\mathbb{R})$ dans $L^1 (\mathbb{R})$ . Au brouillon, ca prend 2 minutes.

invité786754634567890 · 16/05/2010 - 04h47

aussi le membre de droite de ton inégalité tend bien vers zéro lorsque $k \to + \infty$ . C'est la continuité de la translation dans l'espace $L^1 (\mathbb{R})$ . Là encore, moi je le fais par densité des fonctions tests...

Armen92 · 16/05/2010 - 07h00

Envoyé par xav75

aussi le membre de droite de ton inégalité tend bien vers zéro lorsque $k \to + \infty$ . C'est la continuité de la translation dans l'espace $L^1 (\mathbb{R})$ . Là encore, moi je le fais par densité des fonctions tests...

Bonjour,
Merci de ces indications. Je connais l'argument de densité concernant les fonctions lisses, etc.
Mais ce n'est pas ce que j'appelle une démonstration élémentaire. J'aimerais avoir une preuve à coup de majoration, de $\varepsilon$ , etc...

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