Polynômes orthogonaux

[Isabella12]

Bonjour. J'ai un problème sur les polynôme orthogonaux et je bloque sur une question.
F est l'ensemble des fonctions continues sur [-1;1]. Le produit scalaire est défini par : pour f,g F, <f,g>= \int_{0}^{1}{f(t)g(t)w(t)dt}
avec w une fonction continue >0 et paire de F
J'ai montré qu'il existe une unique suite (Pn) telle que les Pn soient 2 à 2 orthogonaux et Pn ait pour terme dominant Xⁿ, puis que Pn orthogonal à tt polynôme de deg <n.
On me demande de montrer a,b,c tels que X P_n=a P_n+1+b P_n+ c P_n-1. Mas je ne vois pas comment faire.
Merci d'avance

[Isabella12]

Désolée. Alors c'est pour f,g appartient F, <f,g>=

[God's Breath]

Deux choses :
– est une base orthogonale de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à ;
– est de degré , donc s'exprime dans cette base.
Reste à utiliser convenablement le produit scalaire pour calculer les coordonnées de dans la base .

[Isabella12]

Merci bcp pour ton aide. Mais pour les coordonnées peut-on écrire
? Parce que cette formule est vraie dans une base orthonormée, mais je ne sais pas si c'est également vrai dans une base orthogonale..

[God's Breath]

Il suffit de calculer en fonction des coordonnées de dans la base pour voir si la formule est toujours valable.

[Isabella12]

Désolée, je ne comprends pas très bien ton indication :S

[God's Breath]

Si , que vaut ?

[Isabella12]

C'est égal à a_i donc aux coordonnées de X P_n. Donc en fait la formule reste vraie, est-ce exact?

[God's Breath]

Il me semble que, en développant , il doit apparaître .

[Isabella12]

Oui mais <Pi,Pi> n'est-il pas égal à 1?

[God's Breath]

Non, parce que les polynômes Pn sont seulement 2 à 2 orthogonaux, mais ne sont soumis à aucune condition en ce qui concerne leurs normes.

[Isabella12]

ah oui j'ai confondu avec une base orthonormée. Merci.