Analyse, limites

aPrentI314159 · 24/05/2010 - 09h26

Bonjour! Je suis actuellement étudiant en pleine révision et je fait des exercices corrigés pour m'entrainer. Le hic c'est que je ne comprend pas le corrigé.
Voici déjà l'énoncé:

On donne g définie sur R et f définie sur R* par:

$g(x)= \{ 0 \ si x \neq 0 , \ 1 \ si \ x=0\}$

$f(x) \ = \ x \sin{\frac{1}{x}}$

Déterminer, si elles existent, les limites quand x tend vers 0, x différent de 0 des fonctions f, g, g o f

et voila le corrigé:

$lim_{0 \neq x \mapsto 0} g(x) = \ lim_{0 \neq x \mapsto 0}= \ 0, \ |f(x)| \ = \ |x|.|sin \frac{1}{x}| \ (x \neq 0) \ \leq \ |x| \\ Donc \ lim_{0 \neq x \mapsto 0}|f(x)|=0 \ (theoreme \ gendarmes), \ d'ou \ |lim \ f(x)| \ = \ 0 \ cad \ \ lim \ f(x)=0$

$lim_{0 \neq x \mapsto 0}g \circ f \ = \ ? \ on \ a:$
$1) \ (k \neq 0) \ , \ (g \circ f) ( \frac{1}{k \pi }) \ = \ g( \frac{1}{k \pi} sin(k \pi ) ) \ = \ g(0) \ = \ 1$
$2) \ (g \circ f)(x) \ = \ g(xsin \frac{1}{x}) \ = \ 0, \ si \ x \neq \frac{1}{k \pi}. \ Si \ la \ limite \ lim_{0 \neq x \mapsto 0}g \circ f \ existe \ et \ vaut \ l \ on \ peut \ trouver \ \delta > 0 \ tel \ que: \$
$|x|< \delta \ \Rightarrow \ |(g \circ f)(x) \ - \ l \ |< \ \frac{1}{4} \ (= \epsilon )$ ...

Je m'arrête ici dans le corrigé car c'est ici que je ne comprend pas. Je comprend très bien pourquoi il fait tout sa mais je ne comprend pas d'ou vien le 1/4 (epsilon). J'ai eu beau me creuser les méninges durant plusieurs heures je ne comprend toujours pas.
Désolé pour la mise en page pas très réussie et merci de vos éventuelles réponse.

Universus · 24/05/2010 - 16h18

La définition de la continuité en un point x d'une fonction f est :

$\forall \epsilon >0, \, \exists \delta = \delta (\epsilon, x) >0, \, \forall y \mbox{ tels que } |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)| < \epsilon$

On se rend compte que epsilon est arbitraire et que delta dépend généralement de x et epsilon.

Dans des problèmes où on fait un choix explicite d'epsilon, clairement que ce choix ne couvre pas tous les choix possibles d'epsilon ; on cherche donc habituellement en procédant ainsi à montrer que la fonction, pour cet epsilon, ne respecte pas la définition de continuité donnée ci-dessus. Bref, on cherche à montrer que la fonction n'est pas continue en ce point.

Dans ce cas, la valeur précise à donner à epsilon dépend du problème. Le 1/4 a fort probablement été choisi dans la démonstration en sachant que plus tard dans la démonstration, ce choix précis serait peut-être plus 'esthétique'. Bref, a priori, pourquoi précisément 1/4 n'est pas clair sans avoir tout le raisonnement.

Dans ton problème, il est assez clair vu 1) et 2) que g°f n'est pas continue en x=0. L'idée est de rendre ça plus formel en prenant la définition de la continuité (supposant la fonction continue, un raisonnement conduit à une contradiction) ou, autrement, la définition de la discontinuité (on ne fait aucune supposition, mais on démontre directement que la fonction respecte la définition de discontinuité):

$\exists \epsilon > 0, \, \forall \delta > 0, \exists y \mbox{ tel que } |x-y|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|> \epsilon$

invité786754634567890 · 25/05/2010 - 03h03

j'ai des hallucinations, ou il est bien écrit

$\ \ \ \ \lim_{x\to 0 } g(x) = 0$

dans le "corrigé" ???

aPrentI314159 · 25/05/2010 - 05h20

C'est bien ce qu'il y a de marqué marqué dans mon corrigé mais ce n'est pas exactement quand x tend vers 0 mais

$lim_{x \neq 0, \ x \mapsto 0}g(x)=0$

D'après l'énoncé comme x est différent de 0 alors g(x)=0.
Je me trompe dans mon raisonnement ?

invité786754634567890 · 25/05/2010 - 05h43

ca dépend un peu de la définition de la limite qu'on prend. Avec

$\forall \epsilon >0 , \exists \delta > 0 \ \ : \ \ |x | \le \delta \Rightarrow |g(x)| \le \epsilon$

ca ne va pas marcher.... pour x=0 ! Après, y'a des gens qui prennent pour définition

$\forall \epsilon >0 , \exists \delta > 0 \ \ : \ \ 0 < |x | \le \delta \Rightarrow |g(x)| \le \epsilon$

et la c'est Ok. Mais bon avec la notation que tu utilise, ca doit être la seconde définition qui est considérée.

invité786754634567890 · 25/05/2010 - 17h38

je fais chier sur ces définitions : mais en fait ce n'est pas anodin ! par exemple avec la seconde défintion de la limite, le caractérisation séquentielle ne fonctionne plus...... il suffit de prendre

$\ \ \ u_n = 0$

et

$\ \ \ v_n = 1/n$

Ces deux suites tendent vers zéro, mais leur images par g n'ont pas la même limite, 1 et 0 ! En fait dans la littérature francaise, c'est plutot la premiere définiton qui est donnée.

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